5. Дисперсии оценок времени прихода и несущей частоты

В этом разделе мы выведем выражения для дисперсии и ковариации оценок времени прихода сигнала и сдвига несущей частоты, которые были приведены выше. Указанные оценки являются координатами точки в которой функция достигает максимума. Если бы шума не было, координаты этой точки давались бы истинными значениями времени прихода и сдвига частоты. Шум случайным образом смещает положение пика. Мы ищем дисперсии и ковариацию полученных оценок.

Комплексная огибающая входного напряжения дается выражением

в котором комплексная огибающая шума. Предполагается, что спектр шума в диапазоне частот, занятых сигналом, постоянен. Комплексная огибающая при этом понимается в смысле, разъясненном в конце разд. 5 гл. 2, и шум может считаться белым. Компоненты являются гауссовыми стохастическими процессами с ковариацией, даваемой формулой (2.56). Как и в (8.20), функция формулы (8.55) дается выражением

где

Предполагается, что отношение сигнал/шум достаточно велико, чтобы членами со степенью напряжения шума выше первой можно было пренебречь. В этом приближении мы можем отбросить последний член в (8.61).

Если теперь функцию разложить в двойной ряд Тейлора по получим

где коэффициенты даются формулами

Все производные вычисляются в точке Членов с первой частной производной нет вследствие того, что функция в точке имеет максимум.

В этом приближении значения параметров при которых функция принимает наибольшее значение, являются решениями системы уравнений

и, таким образом, ошибки оценок даются формулами

В этом приближении ошибки являются линейными функционалами шума, так как переменные в соответствии с (8.62) и (8.64) зависят линейно от огибающей шума Следовательно, эти ошибки имеют гауссово распределение со средним значением, равным нулю. Их дисперсии и ковариации определяются следующими формулами:

Чтобы вычислить появившиеся в (8.67) величины, используем формулы разд. 5. гл. 1, которые определяют среднее время и среднюю частоту среднеквадратичные время и частоту и среднее произведения через огибающую и ее преобразование Фурье [формулы (1.34)- (1.40)]. Так как шум стационарный, мы не уменьшим общности, если примем и равными нулю. Это мы сделаем для

сокращения записи. По той же причине не будем писать бесконечные пределы в интегралах. Штрихи означают дифференцирование по аргументу функции. Из (8.62) получаем

Дифференцируя дважды по и приравнивая нулю, можем вычислить первую постоянную в (8.64)

Здесь мы использовали соотношения (1.34а) и (1.35а)

Эти два равенства получены одно из другого интегрированием по частям при использовании условия Подобным же образом с помощью (1.37) и (1.38) получаем

Для третьей постоянной в (8.64) находим

где, согласно (1.40),

Из (8.62) и (8.64) получаем

где мы использовали (8.70). Для получаем

согласно (1.37).

Теперь, если мы имеем два функционала шума данные выражениями

по (2.56; получаем

и

Следовательно, и

Обе величины, и имеют вид выражения (8.76), так что мы можем для вычисления их дисперсий и применить соотношение (8.78). Например,

по (8.70). Аналогично

и, учитывая (8.73) и (8.70),

Соотношения (8.56) получены подстановкой (8.69), (8.71), (8.72), (8.79)-(8.81) в (8.67). Как упоминалось в последнем разделе и объяснялось в разд. 5 гл. 1, можно выбрать шкалы времени и частоты так, чтобы сокращая этим несколько запись. При этом выборе шкал нужно заменить на

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)