3. Вероятности ложной тревоги и обнаружения для системы, работающей по принципу максимального правдоподобия

(а) Вероятность ложной тревоги

В предыдущем разделе была рассмотрена задача вычисления вероятностей ложной тревоги и обнаружения для системы, в которой наблюдается напряжение на выходе

детектора в интервале времени много большем длительности сигнала или величины, обратной полосе пропускания фильтра. Ложная тревога в этой системе имеет место, если выходное напряжение превышает критический уровень а в какой-либо момент времени внутри интервала наблюдения, когда напряжение на входе состоит из одного шума. Вероятность этого события обозначена через Иначе говоря, эта вероятность дается соотношением

где вероятность того, что в течение интервала выходное напряжение детектора никогда не превышает уровня При изменении времени от нуля до бесконечности функция монотонно убывает от значения до нуля.

Отрицательная производная

есть так называемая функция плотности вероятности первого пересечения. есть вероятность того, что выходное напряжение пересечет уровень первый раз "снизу" в интервале от до Задача вычисления функции плотности вероятности по существу такая же, как и нахождение вероятности эта задача разрешена только для немногих типов стохастического процесса Предыдущие работы на эту тему были подытожены Сигертом [4], который дал решение для случая, когда может быть описан как "марковский процесс" в одном измерении. Для процесса Маркова условная функция плотности распределения вероятности в момент времени при условии, что заданы значения в предшествующих моментов

времени является функцией только

Для процесса такого типа функция распределения в любой момент времени в будущем зависит только от значения в настоящее время, а не от ее предыстории. Решение Сигерта задачи об однократном пересечении дано как преобразование Лапласа функции выраженное через условное распределение вероятностей (9.36), описывающее процесс Маркова.

Существуют другие типы стохастического процесса, для которых можно написать дифференциальные уравнения, решая которые можно получить функцию распределения Например, Вазов [5] изучил случай марковских процессов векторной случайной переменной с конечным числом составляющих, функция плотности вероятности совместного распределения которых удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных типа Фоккера — Планка. К несчастью, даже в случаях, когда выходное напряжение детектора может быть представлено в виде такого процесса, решить уравнение в частных производных при обычном гауссовом шуме на входе системы обнаружения не представляется возможным. Приходится искать приближенный метод.

В большинстве практических ситуаций вероятность ложной тревоги много меньше единицы из-за того, что наблюдатель не может допустить, чтобы она была велика. Например, в радиолокационной системе обороны слишком дорого посылать снаряды для атаки возможной цели, если очень многие из них пропадают зря. Таким образом, можно предположить, что критический уровень а так велик по сравнению со средним значением что маловероятно: а) при напряжение на выходе пересечет уровень а в интервале . К тому же интервал наблюдения велик по сравнению с промежутком времени, в течение которого значения стохастического процесса сильно коррелированы друг с другом. Этот промежуток имеет величину порядка длительности ожидаемого сигнала. Поэтому можно считать, что вероятность не зависит от распределения начальных значений и

производных так как на большей части интервала процесс имеет пренебрежимо малую корреляцию с этими начальными значениями.

В такой ситуации полезно определить частость с которой стохастический процесс пересекает уровень снизу, так что в интервале длиной среднее число пересечений равно Для стационарного стохастического процесса эта частость постоянна. При условиях, описанных в предыдущем разделе, вероятность ложной тревоги можно апроксимировать формулой

Здесь в действительности предполагается, что число пересечений в заданном интервале длиной подчиняется распределению Пуассона

где -вероятность того, что в интервале имеет место точно пересечений. При этом вероятность того, что имеет место по крайней мере одно пересечение уровня а, приближенно дается средним числом пересечений в течение интервала. Представление о частости ложных тревог было применено для оценки системы обнаружения сигналов Маркумом [2].

б) Вычисление частости ложных тревог

Для определения частости ложных тревог в системе обнаружения можно использовать формулу, данную Райсом [1]:

где скорость изменения стохастического процесса который должен быть по крайней мере однократно дифференцируем. Функция плотности совместного распределения вероятностей выходного напряжения и скорости его

изменения есть Приведем краткий вывод этой формулы.

Возьмем малый интервал длиной х и выясним, какая часть членов большого ансамбля последовательностей времени пересекает в течение этого интервала уровень снизу. Пусть Тогда, если длина интервала мала по сравнению с временем корреляции стохастического процесса, искомая часть членов равна совместной вероятности того, что а именно

где функция плотности вероятности совместного распределения (фиг. 9.1, а). Когда интервал времени мал, можно приближенно написать

где скорость изменения в начале интервала; этим мы апроксимируем волну шума в рассматриваемом интервале прямой линией. Написанный выше двойной интеграл может быть при этом упрощен заменой переменных на учитывая, что

Область интегрирования в новых координатах — это заштрихованная площадь на фиг. и мы находим, что отношение числа членов, дающих пересечение в течение интервала, ко всему числу членов равно

Когда длина интервала очень мала, второй интеграл приближенно равен произведению длины интервала

интегрирования по времени на значение подынтегрального выражения в некоторой точке интервала:

Из этого выражения сразу же получается формула Райса (9.38).

Фиг. 9.1. Области интегрирования. а — плоскость ; б - плоскость

Чтобы применить этот результат к нашей задаче, нужно вычислить функцию плотности совместного распределения значений и скорости изменения выходного

напряжения линейного детектора когда входное напряжение представляет собой узкополосный гауссов шум. Пусть комплексная огибающая этого входного напряжения равна а ее функция автоковариации есть При этом напряжение на выходе детектора дается формулой

Ковариации крадратурных компонент входного напряжения даются формулами типа (2.54), а именно:

В последующем мы будем для простоты предполагать, что функция автоковариации действительная. Это означает, что узкополосный спектр мощности входного напряжения

симметричен относительно центра (соответствующего несущей частоте). Наш окончательный результат для частости будет также справедлив, когда этот спектр не является четной функцией При предположении, что спектр является четным, функция плотности вероятности совместного распределения и наклона на выходе равна

Мы приведем принадлежащий Райсу [1] вывод соотношения (9.41) для иллюстрации используемого при этом метода. Сначала напишем функцию совместного распределения гауссовых случайных переменных

Из (9.40) ковариации этих величин равны

Все другие ковариации равны нулю, если спектр симметричен. Так мы получаем функцию плотности вероятности совместного распределения

Теперь определим угол соотношениями

Дифференцируя их по времени, получим

Перейдем теперь к четырем переменным и 0. Чтобы найти элемент объема в четырехмерном пространстве этих новых переменных, используем определитель Якоби

Функция плотности вероятности совместного распределения в этих новых переменных будет, согласно (9.42),

Интегрирование в интервалах — дает формулу (9.41).

Теперь, чтобы получить частость ложной тревоги, можно подставить (9.41) в (9.38) и проинтегрировать:

Эта формула была дана Мидлтоном [3]. Если спектр входного напряжения несимметричен и функция автоковариации комплексная, нужно заменить на

где — величина чисто мнимая.

В системе обнаружения, описанной в предыдущем разделе, стохастический процесс есть напряжение на выходе линейного детектора, который следует за фильтром, согласованным с сигналом Импульсная характеристика этого фильтра дается уравнением (8.15), в котором задержка велика по сравнению с длительностью сигнала. Функция определяется уравнением (8.14). Если комплексная огибающая шума на входе фильтра, комплексная огибающая напряжения на выходе будет равна

При этом комплексная автоковариация выходного напряжения фильтра находится применением соотношения (2.52);

где комплексная автоковариация шума на входе. При выводе (9.45) мы опять учли, что задержка очень велика. Это сделало возможным ввести бесконечные пределы интегрирования и использовать интегральное уравнение (8.12), определяющее . С помощью (2.53) можно аналогично показать, что

Таким образом, комплексная автоковариация напряжения на входе детектора равна

где узкополосный спектр мощности входного напряжения, согласно (8.14).

Для постоянных в (9.43), используя определение (8.28) для моментов частоты, находим

При этом выражение для частости ложной тревоги (9.43) принимает вид

Р - ширина спектра сигнала, определенная (8.31). Когда шум на входе белый, это определение ширины спектра совпадает с примененным в разд. 5 гл. 1. Следует заметить, что эта ширина спектра сигнала существует, если только при увеличении спектр стремится к нулю быстрее, чем . В противном случае случайный процесс не дифференцируем и частость ложных тревог в форме, данной в (9.38), не существует.

Чтобы оценить порядок величины частости ложных тревог используя функцию распределения выходной величины как в (5.46), полезно записать (9.48) в виде

Здесь, так же как в гл. вероятность ложной тревоги для системы обнаружения цели с фиксированным положением. Написанное выше соотношение показывает, что за время будет иметь место в среднем таких ложных тревог. Коэффициент обычно порядка единицы; для он равен 2,71. Другими словами, за время порядка

можно ожидать одну ложную тревогу. Вероятность ложной тревоги для системы обнаружения, описанной в разд. 2, теперь дается соотношением

где — длительность интервала наблюдения.

(в) Частость ложных тревог при нескольких наблюдениях

В конце разд. 2 была описана система обнаружения по максимальному правдоподобию, применявшаяся тогда, когда эхо-сигнал ожидался в каждом из входных напряжений следующих одно за другим. Каждое напряжение на входе нужно было пропустить через фильтр и цродетектировать. Напряжения с выхода детектора запоминались и суммировались синхронно. Окончательная сумма продетектированных напряжений из всех интервалов рассматривалась как функция времени, и, если она превышала фиксированный критический уровень а в какой-либо момент времени в течение интервала, объявлялось, что сигнал присутствует. Мы можем представить эту сумму формулой где задержка, вызванная согласованным фильтром, а функция дается (9.29). Вероятность ложной тревоги для такой системы приближенно дается произведением частости на длину одного интервала наблюдения. Частость ложной тревоги есть среднее число пересечений стохастическим процессом порогового уровня за 1 сек.

Чтобы вычислить эту частость ложных тревог нужно найти функцию плотности совместного распределения переменной и ее производной по времени Сначала напишем функцию плотности вероятности совместного распределения случайных переменных и их "наклонов" где комплексный процесс

является огибающей выходного напряжения согласованного фильтра на протяжении интервала наблюдения, когда на входе системы имеется гауссов шум. Так как шумовые напряжения в различных интервалах статистически независимы, функция плотности вероятности совместного распределения равна произведению функций вида (9.42). Теперь введем случайные переменные при помощи соотношений

и формул, полученных дифференцированием этих соотношений по времени. Функция плотности вероятности совместного распределения этих переменных есть произведение множителей, подобных функции , написанной выше, а именно:

Интегрируя по переменным в интервале — получим

Теперь в соответствии с определением нашей системы имеем

Продифференцировав это выражение по времени, получим

Функция плотности вероятности условного совместного распределения наклонов для фиксированных значений переменных является гауссовым распределением

Этот результат мог быть получен из формулы. (9.51) Когда переменные не изменяются, квадратный корень из суммы их квадратов также постоянен, следовательно, производная является линейной комбинацией независимых гауссовых случайных переменных удовлетворяющих (9.52) и (9.53). Следовательно, величина является гауссовой случайной переменной. Ее условное среднее значение равно нулю, так как все средние значения условная дисперсия этой переменной дается формулой

Поэтому функция плотности вероятности условного распределения производной просто равна

а функция плотности вероятности совместного распределения всех этих переменных равна, в соответствии с (9.51),

Теперь мы можем перейти к функции плотности вероятности совместного распределения методом, примененным в разд. 2 гл. 6, где мы показали, что распределено как степенями свободы. Подставив в (6.25) и комбинируя с коэффициентом, зависящим от наклона

8 приведенной выше функции распределения, окончательно получаем

Поэтому, используя (9.38), получим частость ложной тревоги в виде

Это частный случай формулы, полученной Силверманом [9]. Продолжая анализ таким же образом, как и в подразделе найдем, что вероятность ложной тревоги для рассматриваемой системы обнаружения равна

где ширина спектра сигнала, а —длительность одиночного интервала наблюдения.

(г) Вероятность обнаружения

Вероятность обнаружения в системах, подобных рассмотренным в разд. 2, точно вычислить труднее, чем вероятность ложной тревоги, так как случайная переменная уже не является стационарной: при наличии сигнала ее статистические характеристики, такие, как среднее значение и дисперсия, становятся функциями времени. Однако при больших отношениях сигнал/шум достаточно точным будет предположение, что вероятность обнаружения как функция критического уровня для выходного напряжения детектора, или равна значению, вычисленному в разд. 3 гл. 5 для одиночного наблюдения, или значению,

найденному в разд. 2 гл. 6 для Эта вероятность превышения пиковым значением определяемой (9.27) или (9.29), критического уровня очень близка к ранее вычисленной вероятности того, что выходное напряжение детектора, измеренное в подходящий момент при обнаружении сигнала, приходящего в известное время превысит свой критический уровень.

Причина этого в том, что пик выходного напряжения детектора [формула (8.17)] получается в момент времени очень близкий к моменту времени в который измерялось бы выходное напряжение» если бы истинное время прихода сигнала было известно. Из-за корреляции в шуме, создаваемой согласованным фильтром, шум в выходном напряжении детектора существенно изменяется только за время порядка длительности сигнала. Следовательно, если величина шума такова, что пиковое значение выходного напряжения детектора превышает критический уровень неправдоподобно, что шум так сильно изменится за время что выходное напряжение окажется меньше критического уровня в момент Поэтому вероятность того, что приблизительно равна вероятности того, что где истинное время прихода сигнала. Эта последняя вероятность есть просто вероятность обнаружения, рассчитанная в разд. 3 гл. 5 (для для сигнала с известным временем прихода. Мы можем, следовательно, использовать результаты этой главы (и разд. 2 гл. 6 для для определения вероятности обнаружения как функции критического уровня Для одиночного наблюдения имеем

где функция, определенная соотношением (5.51). Величина есть отношение сигнал/шум, определенное ранее.

Можно считать, что время наблюдения измеряет неопределенность сведений наблюдателя о положении возможной цели, так что оно пропорционально интервалу, в котором наблюдатель должен искать цель. [Интервал неопределенности соответствующий равенству единице параметра

в (9.49), дается соотношением так как где с — скорость света. Для ширины спектра сигнала радуги интервал неопределенности

Мы можем определить минимально обнаруживаемый сигнал как отношение сигнал/шум необходимое для получения некоторой вероятности обнаружения, скажем для фиксированной вероятности ложной тревоги, например

Фиг. 9.2. Минимально обнаружимый сигнал.

Вероятность обнаружения

При этом можно начертить график отношения сигнал/шум как функции параметра неопределенности используя (9.49) для вычисления критического уровня а затем применяя (5.49), чтобы определить значение отношения сигнал/шум для данного значения вероятности обнаружения Такой график дан на фиг. 9.2. Из примененного способа вычисления вероятностей ложной тревоги и обнаружения следует, что кривые надежны только для 1. Мы видим, что отношение сигнал/шум

Для данной пары значений слабо зависит от неопределенности времени прихода сигнала. Изменение параметра в 104 раз соответствует увеличению необходимого отношения сигнал/шум на 2,0 дб.

Возможно, было бы полезно найти систему обнаружения, которая давала бы максимальную вероятность обнаружения для данной частости ложной тревоги. Система, описанная в этой главе, использующая согласованный фильтр, не обязательно обладает этим свойством. И эта новая задача, насколько известно автору, не была решена. Из (9.49) видно, что, если бы использовался фильтр с несколько более узкой полосой, вероятность ложной тревоги для данного критического уровня а могла бы быть уменьшена без очень большого изменения пикового значения продетектированного напряжения сигнала. При этом критический уровень мог бы быть понижен для восстановления первоначального значения вероятности ложной тревоги что привело бы к уменьшению минимально обнаруживаемого сигнала. Однако критический уровень, соответствующий фиксированной вероятности ложной тревоги слабо зависит от параметра что наглядно обнаруживается ходом кривых фиг. 9.2. Это ставит под сомнение, что с помощью такой оптимальной системы можно обеспечить очень большое улучшение в обнаруживаемости сигналов.