Глава 1. СИГНАЛЫ И ФИЛЬТРЫ

1. Сигналы и спектры

Радиолокационные станции являются устройствами для обнаружения удаленных объектов, таких, как самолеты и суда, при помощи посылки электромагнитных импульсов и наблюдения эхо-сигналов, отраженных от этих объектов. Типичная радиолокационная станция состоит из передатчика, который генерирует электромагнитную энергию с длиной волны несколько сантиметров и периодически излучает ее в виде импульсов большой амплитуды и малой длительности с помощью антенны, создающей весьма узкий пучок лучей. Кроме того, станция содержит приемник, связанный с антенной и настроенный так, чтобы улавливать и усиливать часть излучения, отраженного от близко или далеко расположенных объектов. Энергия эхо-сигнала от удаленного объекта очень мала; она обратно пропорциональна четвертой степени расстояния от этого Объекта до антенны. Это само по себе не было бы препятствием для обнаружения очень удаленных объектов, так как эхо-сигнал можно усилить в приемнике насколько это необходимо, если бы в действительности он не искажался наложением других сигналов, или "шумов" случайной природы, порождаемых предметами, окружающими объект, и возникающих в самом приемнике. Так как желательно обнаруживать объекты на возможно больших расстояниях, нужно изучить характеристики эхо-сигналов и помех, чтобы спроектировать приемное устройство, которое могло бы выделять из шумов как можно более слабые эхо-сигналы. Эта задача оптимального обнаружения и является основной темой данной книги. Что касается деталей конструкции реальных радиолокационных устройств, читателю

следует обратиться к многочисленной литературе по этому вопросу, часть которой приведена в конце настоящей главы.

Проблема обнаружения слабых сигналов, смешанных с шумом, возникает также в теории систем связи, которые должны передавать сообщения на большие расстояния при ограниченной мощности. Если сообщение посылается в форме электромагнитных импульсов, что часто бывает, условия работы приемника устройства связи во многом подобны условиям работы радиолокационного приемника и методы, которые мы будем рассматривать, применимы и для осуществления возможно более надежных систем связи. Подобные проблемы обнаружения возникают и в других областях физики, где бывает необходимо измерять крайне малые напряжения и токи в присутствии шумов, от которых нельзя избавиться.

В гл. 1 рассматриваются различные способы описания сигналов и фильтров, в которых они преобразуются. Следующая глава посвящена помехам; она является введением в статистические методы, применяемые при рассмотрении подобных вопросов. Затем на основе аналогии с задачей статистической проверки гипотез определяются задачи, решаемые системой обнаружения. После этого исследуются способы решения этих задач.

Сигнал можно рассматривать как меняющийся ток или напряжение в некоторой точке приемника, описываемый функцией времени которую будем считать полностью известной. В большинстве случаев мы будем иметь дело с импульсоподобными сигналами, которые равны нулю до некоторого момента времени

и стремятся к нулю, когда время стремится к бесконечности:

Эти сигналы считаются квадратично интегрируемыми: величина

конечна. Если напряжение на сопротивлении ом, ток через сопротивление равен а энергия,

рассеиваемая на сопротивлении, равна

Таким образом, допущение, сделанное выше, предполагает, что энергия сигнала конечна.

Сигнал можно также описать его Фурье-преобразованием, или спектром определяемым соотношением

Для квадратично интегрируемых сигналов спектр всегда существует и сам квадратично интегрируем, так как справедлива формула [приложение А, формула

По спектру сигнала можно найти форму сигнала при помощи обратного преобразования Фурье;

Эта формула представляет сигнал в виде суперпозиции большого числа синусоидальных колебаний частоты и комплексной амплитуды Так как — действительная функция, спектр удовлетворяет условию где звездочкой отмечена комплексно-сопряженная величина. Интеграл Фурье является обобщением известных рядов Фурье, которые представляют периодическую функцию как сумму счетного множества синусоид и косинусоид, частоты которых кратны где —период функции. Можно считать, что интеграл (1.4) получается, когда

становится очень большим; число синусоидальных составляющих при этом несчетно.

Обычный тип сигнала — прямоугольный импульс длительностью Т:

Такой сигнал может быть получен в цепи, состоящей из батареи и ключа, замыкаемого на время Спектр этого сигнала

Полезно проделать для этого случая обратное преобразование (1.4); кратко это рассмотрено в приложении А.

Сигналы, спектры которых существенно отличаются от нуля только в некотором интервале частот вблизи часто называются видеосигналами. Они противопоставляются сигналам, в которых преобладает колебание некоторой высокой частоты. Термин "видеосигнал" возник в телевидении и радиолокации, где такой сигнал подавался на отклоняющие электроды электронно-лучевого осциллоскопа и мог наблюдаться визуально. Спектр таких видеосигналов характеризуется его шириной. Применяют несколько определений ширины спектра. Если спектр обладает одним пиком в интервале — он должен из-за симметрии располагаться при Ширина спектра в этом случае иногда определяется как расстояние между точками половинной мощности: Другое определение — это среднеквадратичное отклонение :

Сигналы со спектрами, сконцентрированными в виде двух узких симметричных пиков, один из которых лежит вблизи а другой — вблизи называются

узкополосными, когда ширина пика мала по сравнению с Они имеют большое значение и рассматриваются в последующих разделах этой главы.