3. Разрешение сигналов с неопределенным временем прихода

В разд. 1 и 2 предполагалось, что, когда имеются два сигнала они приходят в определенные моменты времени в течение интервала наблюдения. При этом наблюдатель точно знает, когда измерять напряжение на выходе согласованных фильтров [формулы (10.4)], которые "образуют" оценки амплитуды [формула (10.1)]. Но если время прихода близкой пары сигналов неизвестно, должен быть найден метод определения времени, когда нужно производить измерения. При этом нужно учитывать шум, затрудняющий разрешение двух сигналов или обнаружение слабого сигнала в присутствии сильного. Если напряжение с выхода комбинации фильтр — детектор, которое должно давать оценку амплитуды В, будет считываться в неправильный момент времени, может существовать выходное напряжение, обусловленное сигналом А, даже когда Это выходное напряжение может быть достаточно большим, чтобы превзойти критический уровень для оценки В. Только в правильно выбранный момент времени выходное напряжение, обусловленное сигналом А, оказывается равным нулю. Результатом

этого будет ббльшая вероятность ложной тревоги для сигнала В. Чтобы привести ее к приемлемому значению, критический уровень должен быть поднят. При этом вероятность обнаружения сигнала В уменьшится. Если несущие частоты пары ожидаемых сигналов также неизвестны, появляется добавочная неопределенность, так как теперь должен быть построен набор систем, приспособленный к приему некоторого числа комбинаций частот в диапазоне их ожидаемых значений, или же наблюдатель должен осуществлять поиск этих неизвестных частот в течение некоторого числа интервалов наблюдения.

В этом разделе мы разовьем стратегию разрешения по максимальному правдоподобию для гипотетического случая, в котором комплексные огибающие и двух сигналов заданы. Если один сигнал отделен от другого известным интервалом по времени и интервалом по несущей частоте, эти огибающие описываются формулой (10.23). Несущие частоты сигналов известны, но время прихода пары сигналов один из которых или оба могут присутствовать, задано только в широких пределах. Таким образом, сигналы имеют вид

где параметры неизвестны. Эта ситуация могла бы возникнуть, когда малая цель ожидается на заданном расстоянии от большой, но расстояние до обеих целей известно только очень грубо. Предполагается, что скорости целей заданы.

Входное напряжение наблюдается в интервале большом по сравнению с длительностью сигналов. Комплексная огибающая входного напряжения равна Предполагается, что шум белый и гауссов. Стратегия разрешения по максимальному правдоподобию требует, чтобы наблюдатель оценил значения неизвестных параметров, минимизируя квадратичную форму:

Оценки фаз сигналов находятся так же, как оценка фазы в разд. 1 гл. 8. Описанными там методами можно показать, что оценки амплитуд даются формулами

в которых параметр X выражается формулой (10.21). В эти формулы нужно подставить максимально правдоподобную оценку времени прихода пары сигналов Чтобы найти одну оценку времени прихода, результаты, даваемые (10.37), подставляются в (10.36) и полученное выражение минимизируется по параметру Можно показать, что это эквивалентно нахождению значения максимизирующего функцию

где

Вторая формула для построена наиболее удобно. Как обсуждалось в разд. 1 гл. 8, величина может быть получена в виде выходного напряжения в момент на выходе квадратичного детектора, следующего за фильтром, согласованным с сигналом с задержкой V, большой по сравнению с длительностью сигнала. Узкополосной импульсной характеристикой этого фильтра является

Подобно этому, функция есть выходное напряжение в момент квадратичного детектора, следующего за фильтром, согласованным с сигналом

Для получения функции времени, воспроизводящей задержанную на время функцию выходные напряжения обоих детекторов комбинируются в соответствии с формулой (10.38), как показано на фиг. 10.2.

Фиг. 10.2. Функциональная схема системы-обнаружения.

Полученная функция времени достигает максимума в момент времени где максимально правдоподобная оценка времени прихода. В этот момент выходные напряжения каждой комбинации фильтр — детектор, дающие оценки

измеряются и сравниваются с подходящим критическим уровнем Если сигнал В объявляется присутствующим.

Читатель может убедиться, что, если бы шума не было, величина в (10.38) имела бы максимум для истинного значения времени прихода при условии, что по крайней мере один из сигналов присутствует. Поэтому она дала бы точный момент времени, в который следует определять оценки по (10.37). При этом, если бы оценка В равнялась нулю, было бы известно, что сигнал В отсутствует. Однако при наличии шума может получиться ошибка в оценке, времени и оценка будет вычисляться в неправильное время. Если присутствует сильный сигнал А, эта оценка В может превысить свой критический уровень даже когда создавая ложную тревогу.

Вероятности ложной тревоги и обнаружения для такой системы были вычислены в пределе, при большом отношении сигнал/шум. Вычисления приведены в докладе [9]. Они длинны, и ввиду малой практической ценности систем обнаружения этого типа здесь будут приведены только их результаты. Предполагалось, что - сигнал А приходит при большом отношении сигнал/шум. Ошибка в оценке времени вычислялась с точностью до величины первого порядка по шумовому напряжению и подставлялась в выражение для оценки В, позволяя найти ошибку в этой оценке, обусловленную неопределенностью во времени считывания выходного напряжения комбинации фильтр — детектор, дающего оценку амплитуды В. Эта ошибка добавлялась к обусловленной шумом ошибке в (10.36). Затем вычислялись вероятности

Мы нашли, что если в сигналах нет частотной модуляции и они имеют одинаковую несущую частоту минимально обнаруживаемая энергия для сигнала В в присутствии сигнала А пропорциональна величине

в предположении, что среднее значение частоты Если, с другой стороны, время прихода было бы известно, эта минимально обнаруживаемая энергия была бы

пропорциональна в соответствии с (10.18) и (10.31) величине Таким образом, для малых значений времени разделения минимально обнаруживаемая энергия увеличивается много быстрее, когда время неизвестно, чем когда оно задано.