6. Синтез фильтров

Проектирование фильтра, обладающего заданными свойствами, известно как "синтез" в противоположность "анализу", при котором изучается поведение уже спроектированного фильтра. Наиболее общий метод описания фильтра, который должен быть синтезирован, состоит в том, что задается амплитуда или фаза коэффициента передачи (они не являются независимыми). Первый шаг при синтезе называется "задачей апроксимации". Он состоит в отыскании рациональной функции с полюсами в области согласующейся с в пределах требуемой точности. Второй шаг — задача реализации — состоит в определении схемы из сопротивлений, емкостей и индуктивностей, по возможности наиболее простой, с коэффициентом передачи Обе эти задачи подробно рассмотрены в литературе, и вникать в них здесь нет необходимости. Современное изложение этого вопроса дано вработе [17].

В теории систем обнаружения, которой посвящена книга, в качестве характеристики фильтра чаще, чем коэффициент передачи применяется импульсная характеристика При этом задача состоит в том, чтобы найти рациональную функцию преобразование которой

апроксимирует наилучшим (в некотором смысле)

образом. Критерием может служить минимум среднего квадрата отклонения

где подходящая положительная весовая функция. Коль скоро определена, фильтр может быть реализован стандартными методами.

Обычно оказывается недостаточным принять в качестве функцию, хорошо апроксимирующую Фурье-преобразование функции в смысле, принятом при апроксимации частотных характеристик, так как соответствующая импульсная характеристика может при этом и не оказаться хорошей апроксимацией

Так как для фильтра, составленного из элементов с сосредоточенными постоянными, должна иметь вид (1.15), апроксимацией импульсной характеристики (при простых полюсах) будет

Критерий минимума (1.52) приводит к системе линейных уравнений для коэффициентов

Принципиальную трудность при этом методе представляет выбор расположения полюсов дающих хорошее приближение при заданном числе членов [14]. О том, как это сделать, чтобы фильтр был простым и конструктивно экономичным, известно мало.

Метод Винера и Ли [1] представляет частный случай описанного выше метода. Апроксимирующий коэффициент передачи берется с одним кратным полюсом в точке где а действительно. При весовой функции в (1.52) импульсная характеристика синтезируемого фильтра разлагается в ряд по функциям Лагерра:

где функции Лагерра, а — полиномы Лагерра. Эти полиномы определяются формулой

Так как функции Лагерра ортонормальны на полубесконечном интервале, коэффициенты выражаются формулой

Получающаяся в результате минимальная ошибка

Фурье-преобразование "функции Лагерра имеет вид

Таким образом, будет рациональной функцией , что и требовалось. Таблицы функций Лагерра и многие полезные формулы для этих функций даны в работе [15].

В этом методе используется еще один параметр, а именно а, который надо выбрать, прежде чем пользоваться формулой (1.56). Его можно определить, вычисляя по формуле (1.57) для некоторого набора значений а и выбирая то из них, при котором получается наименьшее Однако часто это трудоемко. Хид и Вилсон [15] дают грубое правило

для выбора а. Так как от а зависит мало, выбор значения а некритичен. Если используется членов ряда, а обычно имеет величину порядка , где — длительность апроксимируемой функции На фиг. 1.8 показан прямоугольный импульс и его апроксимация при

Приведенное рассмотрение служит для того, чтобы показать, что фильтры для данной импульсной характеристики можно синтезировать с желаемым приближением. Однако получающиеся при этом фильтры могут оказаться практически трудно осуществимыми и дорогостоящими. В книге [17] целая глава посвящена вопросу синтеза фильтров, обладающих предписанной импульсной характеристикой. Там же рассмотрены другие методы, которые во многих случаях обеспечивают экономически приемлемую апроксимацию.

Фиг. 1.8. Апроксимация для прямоугольного импульса.

Для синтеза фильтра с узкой полосой пропускания, обладающего заданной комплексной импульсной характеристикой (1.27), сначала находят рациональную функцию полюсы которой лежат в области и преобразование

Фурье которой к является подходящей апроксимацией Затем определяют коэффициент передачи фильтра по формуле (1.26), в которой частота настройки фильтра. Наконец, фильтр конструируется стандартными методами по его коэффициенту передачи

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)