5. Соотношение неопределенностей

В этом разделе мы дадим определения длительности и ширины спектра узкополосного сигнала и обсудим связь между ними, которая является общей почти для всех таких сигналов. Из соображений размерности следует, что среди всех сигналов данного типа те, которые имеют большую ширину спектра, имеют пропорционально меньшую длительность, так что произведение этих величин остается постоянным. В дальнейшем мы увидим, как это произведение ширины спектра на длительность зависит от формы сигналов.

Пусть комплексная огибающая сигнала определенная как в разд. 3, будет Если Фурье-преобразование огибающей есть можно определить среднюю девиацию частоты и средний квадрат девиации частоты формулами

(Пределы интегрирования во всех интегралах этого раздела — предполагается, что подынтегральные выражения уменьшаются достаточно быстро в этих пределах, чтобы интегралы существовали.) Среднеквадратичная девиация частоты, или ширина спектра сигнала, определяется равенством

Используя теорему свертки для Фурье-преобразования или применяя аналитические методы приложения А, можно

записать указанные выше формулы в виде

Штрих означает дифференцирование по аргументу функции. Увеличивая несущую частоту на со и заменяя на получим новую комплексную огибающую со средней девиацией частоты, равной нулю; часто это бывает удобно.

Аналогично можно определить среднее время и средний квадрат времени сигнала формулами

Среднеквадратичная длительность сигнала определяется соотношением

Специальным выбором начала отсчета времени можно сделать

Другая величина, полезная для описания сигнала, определяется соотношением

Беря комплексно-сопряженное значение первой части равенства, интегрируя по частям и замечая, что при

можно показать, что действительная величина. Мы увидим, что величина измеряет частотную модуляцию сигнала.

Более ясное представление о смысле этих величин можно получить, выражая через амплитуду и фазу по уравнению (1.23):

Если выбрать начало отсчета времени и частоты таким образом, что а амплитуду сигнала так, чтобы

получим

Из этих формул видно, как именно величина измеряет частотную модуляцию импульсного сигнала. Грубо изменение фазы сигнала за время порядка среднеквадратичной длительности при условии, что несущая частота 2 выбрана так, что исчезает член дающий линейное нарастание фазы. При этом для чисто амплитудно-модулированного колебания обращается в нуль. Средний квадрат ширины полосы состоит из слагаемого, обусловленного амплитудной модуляцией импульса [первый член формулы (1.43)], и слагаемого, определяющегося в основном средним квадратом частотной модуляции [второй член формулы (1.43)]. Воспользовавшись неравенством Шварца, получим

Используя (1.35), (1.38) и (1.40) и замечая, что действительно, найдем или

Отсюда следует, что Это неравенство известно как "соотношение неопределенностей". Термин заимствован из квантовой механики, где он был впервые применен. Неравенство означает, что с уменьшением продолжительности импульса пропорционально увеличивается ширина спектра Дев.

Фиг. 1.7. Эллине неопределенности.

Можно показать, что знак равенства в (1.45) справедлив для гауссовых сигналов, которые могут быть частотно-модулированными.

Их комплексная огибающая имеет вид

и частотная модуляция Для таких сигналов и

Дальнейшее обсуждение соотношения неопределенностей можно найти в работах Габора [4] и и Сильвермана [18].

Смысл более развернутой формы (1.45) соотношения неопределенностей можно разъяснить следующим образом. Если начертить эллипс по уравнению

те получится картина, подобная изображенной на фиг. 1.7. Этот вллипс можно назвать "эллипсом неопределенности"; его площадь

Площадь эллипса принимает наибольшее значение, равное для гауссового сигнала (1.46). В случае других сигналов его площадь меньше Для гауссового сигнала изменение величины частотной модуляции проявляется в повороте эллипса по отношению к осям без изменения его площади. Покажем, что это вообще всегда приближенно справедливо. Подставив (1.41) — (1.43) в (1.45), получим

С помощью неравенства Шварца можно показать, что двойной интеграл с всегда положителен. Таким образом, эффект частотной модуляции всегда состоит в уменьшении площади эллипса неопределенности. Однако если фазовая модуляция имеет вид (линейного члена нет, так как мы принимаем двойной интеграл равен нулю.

Следовательно, для изменения площади А эллипса неопределенности фазовая девиация должна увеличиваться быстрее, чем квадрат времени, а девиация частоты — быстрее первой степени времени. В большинстве случаев изменение площади, вызванное частотной модуляцией, мало и частотная модуляция сводится в основном к вращению эллипса. Эллипс неопределенности нам понадобится позже при изучении вопросов разрешения сигналов и измерения параметров сигналов.