Глава 7. ТЕОРИЯ ОЦЕНОК

1. Оценки параметров сигнала

Расстояние от антенны радиолокатора до объекта пропорционально промежутку времени между моментом излучения импульса и моментом приема отраженного импульса. Для измерения этого расстояния необходимо определить момент прихода эхо-сигнала. Так как на эхо-сигнал налагается случайный шум, момент его прихода нельзя измерить точно, но можно лишь «оценить». Шум приводит к ошибке оценки, которая не может быть предсказана. Если объект движется, несущая частота эхо-сигнала отличается от частоты излученного сигнала на величину допплеровского смещения; изменение частоты пропорционально составляющей скорости объекта в направлении антенны радиолокатора. Для измерения этой составляющей скорости можно измерить несущую частоту эхо-сигнала, но это измерение будет также произведено с ошибкой, обусловленной случайным шумом. Хотелось бы найти по возможности точный способ оценки таких параметров как время прихода и несущая частота. Это может быть сделано с помощью методов статистической теории оценок. Оптимальные методы оценок зависят от характеристик сигнала и шума и во многом похожи на способы, применявшиеся при отыскании оптимальной стратегии обнаружения. Точность, с которой могут быть измерены параметры сигнала, является функцией отношения сигнал/шум.

Параметры, о которых идет речь, должны быть оценены на основании результатов некоторой системы измерений входной величины Они могут рассматриваться как параметры функции плотности распределения вероятностей результатов х. Предположим, например, что сигнал представляется формулой

где А — амплитуда, время прихода и — несущая частота.

Допустим, что шум белый и гауссов. Если измерения сделаны в моменты функция совместного распределения результатов "измерения будет

где пропорционально спектральной плотности мощности шума (разд. 1 гл. 4). Оценка параметров сигнала эквивалентна такому выбору значений при котором распределение, даваемое формулой (7.2), согласовывалось бы наилучшим, в некотором смысле, образом с результатами наблюдений х.

В общем случае функция плотности вероятности результатов измерений задана. Эта функция зависит от параметров Ищется стратегия оценки, позволяющая приписать на основе измеренных значений случайных величин параметру в качестве оценки некоторое значение а. Стратегия для оценки параметра является, таким образом, некоторой функцией (Здесь обозначает оценку соответствующего параметра, а не комплексно-сопряженное значение. Такое обозначение будет применяться только для вещественных величин.) Совокупность таких оценок можно представить вектором Следует, однако, заметить, что нет необходимости оценивать все неизвестные параметры.

Так как измеренные величины х являются случайными, два опыта никогда не будут приводить к одному и тому же значению а, если даже истинные системы параметров ее в обоих случаях одинаковы. Лучшее, что можно ожидать, это, что оценки а будут близки к истинным значениям "в среднем". Если дана система стратегий и функция совместного распределения вероятностей , можно вычислить функцию условного распределения вероятностей оценок . Желательно, чтобы эта функция вблизи

истинного значения х имела острый максимум. Если среднее значение равно оценка параметра называется несмещенной. В противном случае разность называется смещением оценки. Желательно, чтобы смещение и рассеяние оценок около их средних значений а были малы.

Часто оказывается необходимым выбирать компромиссное решение. Чтобы определить стратегию оценок, наблюдатель должен сформулировать некоторый критерий, с помощью которого можно было бы определить точность или качество оценки подобно тому, как при проверке гипотез (см. гл. 3) было необходимо установить критерий для измерения эффективности рассматривавшихся стратегий решений.