3. Узкополосные сигналы

Импульсные сигналы, принимаемые радиолокационными и многими связными устройствами, представляют собой несущую высокой частоты, модулированную по амплитуде и фазе функцией времени, которая относительно мало изменяется за период несущей. Импульс радиолокатора, например, обычно содержит много периодов несущей частоты; он выглядит подобно сигналу на фиг. 1.5, для которого можно записать

Для типичного импульса радиолокатора несущая частота 2 может быть равна рад/сек (1000 Мгц), а —порядка . Другой способ описать указанные особенности сигнала — это сказать, что его спектр существенно отличен от нуля только в полосе частот около несущей частоты и частоты а ширина спектра мала по сравнению с несущей частотой

Фиг. 1.5. Узкополосный импульс.

Такие "узкополосные" сигналы адекватно описываются их амплитудной и фазовой модуляцией, что позволяет упростить анализ. В этом разделе описание узкополосных сигналов будет производиться на основе комплексного или векторного исчисления. Модуляторы, вырабатывающие такие сигналы, по существу являются фильтрами, параметры которых меняются некоторым образом, а на вход подается сигнал

Обратившись к формуле (1.4), описывающей сигнал при помощи его спектра определим новый комплексный сигнал содержащий только положительные частоты формулой

Комплексно-сопряженной величиной будет

При этом мы использовали симметрию спектра сигнала Таким образом, комплексно-сопряженный сигнал содержит отрицательные частоты а действительный сигнал равен

Если известно, его часть с положительными частотами может быть вычислена. Она непосредственно дается преобразованием Гильберта [16].

Пусть узкополосный сигнал со спектром сконцентрированным вблизи Можно представить это наглядно, определив функцию следующим образом: для для Функция сосредоточена около Подставив эту новую функцию в (1.18), находим, что действительный сигнал можно записать в виде

Вследствие того что существенно отлична от нуля только в малом диапазоне частот шириной около ее Фурье-преобразование будет медленно меняющейся функцией времени, значительно изменяющейся лишь за время порядка которое содержит большое число периодов несущей частоты, Величину будем называть комплексной огибающей узкополосного сигнала Абсолютная величина, или модуль, этой комплексной функции представляет амплитудную модуляцию сигнала, а ее аргумент -фазовую модуляцию. Производная по времени представляет частотную модуляцию, или мгновенное отклонение от частоты несущей.

Комплексная огибающая может быть определена формально для любого сигнала просто как где часть сигнала с положительными частотами, данная формулой (1.18). Однако это определение упрощает понимание и анализ поведения сигналов только с малой относительной шириной полосы, когда является медленно меняющейся функцией времени, которую легко интерпретировать как модуляцию несущей. Это представление узкополосных сигналов было введено Габором [4].

Выделяя из действительную и мнимую части согласно формуле можно записать действительный сигнал как

и известны как квадратурные составляющие сигнала. Они могут быть получены из узкополосного сигнала умножением его на соответственно и фильтрацией результата для удаления составляющих вблизи частоты . Действительно,

Так как несущая много больше ширины полосы функции может быть спроектирован низкочастотный фильтр для ослабления составляющих не оказывающий заметного влияния на Подобный же анализ показывает, как получить умножая сигнал на Формула (1.21) представляет сигнал аналогично векторному представлению переменных напряжений и токов, которые могут рассматриваться как узкополосные сигналы с единственной частотой Амплитудную и фазовую модуляцию сигнала можно определить при помощи квадратурных составляющих по формулам

Ветвь арктангенса выбирается таким образом, чтобы была непрерывной функцией времени. Комплексная огибающая сигнала на фиг. 1.5 является прямоугольным импульсом:

при и при Заметим, что комплексная огибающая сигнала определена с точностью до множителя где так как можно "компенсировать" появление такого множителя в огибающей простым изменением несущей частоты на величину :

Соответствующим выбором несущей частоты в уравнения могут быть внесены некоторые упрощения.

Фильтр, дающий сигнал, воспроизводящий амплитудную модуляцию узкополосного сигнала на входе, известен под названием детектор. Он, разумеется, нелинеен, так как линейный фильтр не может устранить колебание несущей, не исказив огибающей. Действие квадратичного детектора состоит в возведении в квадрат сигнала на входе (1.22):

Затем низкочастотный фильтр устраняет составляющие с частотами порядка , так что окончательный сигнал на выходе пропорционален величине Можно считать, что детекторы с характеристиками, отличными от квадратичных, образуют некоторую другую монотонную функцию с модулем Линейный детектор дает непосредственно функцию

Устройство, выходной сигнал которого пропорционален мгновенному отклонению частоты сигнала на входе, известно под названием частотный дискриминатор. Сигнал на выходе можно считать пропорциональным где комплексная огибающая сигнала на входе. Конечно, любой определенный дискриминатор или детектор необходимо проанализировать, чтобы установить, насколько точно указанные выше формулы описывают его действие.

Если проинтегрировать (1.24) в интервале и учесть, что в случае узкополосного сигнала составляющие, пропорциональные значительно меньше других, вместо формулы (1.1) получим