Глава 8. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА

1. Оценка времени прихода сигнала

Время х между излучением радиолокационного импульса и приемом эхо-сигнала от цели, находящейся на расстоянии дается равенством где с — скорость распространения электромагнитного излучения. Измеряя время прихода эхо-сигнала, можно определить таким образом расстояние до цели. Принятый сигнал представим в виде

где время измеряется от начала излученного импульса. Предполагается, что комплексная огибающая и несущая частота 2 известны. Скорость цели, следовательно, считается заданной. Для неподвижной цели 2 равна несущей частоте излученного импульса. Неизвестная фаза соответствует члену в формуле (5.20). Как было выяснено в гл. 5, неопределенность в фазе возникает из-за отсутствия управления фазой излученных импульсов, а также вследствие трудностей измерения расстояния до цели с точностью до долей длины волны излучения. Единственное, что представляет серьезный интерес при измерении, это время прихода огибающей

Амплитуда сигнала обратно пропорциональна квадрату расстояния до цели: где зависит от излученной мощности и эффективного сечения рассеяния цели. Так как последнее обычно неизвестно, можно предположить, что амплитуда А также неизвестна. Зависимость амплитуды А от времени х также едва ли может быть использована для улучшения оценки времени прихода, и мы не будем эту зависимость учитывать. Если бы даже постоянная была

известна, изменение влияло бы на оценку времени только когда амплитуда значительно изменялась бы за время порядка длительности огибающей а это редкий случай. Слепян [4] и Беньон [5] учитывали зависимость амплитуды от х. Выяснилось, что этот учет не оказывает влияния, если истинное запаздывание х велико по сравнению с длительностью сигнала.

По причинам, рассмотренным в предыдущей главе, мы будем оценивать время прихода сигнала методом максимального правдоподобия. Так как функция совместного распределения наблюдаемых значений сигнала на входе приемника зависит не только от времени но и от неизвестной амплитуды А и фазы мы должны найти и подставить также максимально правдоподобные оценки этих параметров. Будем предполагать, что на принятый сигнал наложен узкополосный гауссов шум с комплексной автоковариацией Входное напряжение наблюдается в интервале достаточно большом, чтобы включить в себя весь эхо-сигнал (8.1) от интересующей нас цели. При этом эффектами, происходящими из-за перекрытия концов интервала значительной частью сигнала, можно пренебрегать.

Анализ аналогичен выполненному в гл. 5. Опять входное напряжение выборочно представляется комплексными образцами

где комплексная огибающая входного напряжейия и - собственные функции интегрального уравнения (5.24). Соответствующие образцы сигнала равны где

Вследствие того что сигнал и шум, образуя наблюдаемое входное напряжение, складываются, совместное распределение вероятностей компонент первых образцов равно

где X — собственные значения интегрального уравнения (5.24), а постоянная нормирования, не зависящая от параметров сигнала.

Оценки параметров по максимальному правдоподобию — значения, которые максимизируют функцию плотности вероятности совместного распределения (8.4), или, что то же самое, минимизируют квадратичную форму

Чтобы использовать всю имеющуюся информацию о входном напряжении перейдем к пределу, полагая, что количество образцов стремится к бесконечности. При этом форма принимает вид

где решение интегрального уравнения

Рассмотрение, ведущее от квадратичной формы формулы (8.5), такое же, как приведенное в подразделе (г) разд. 3 гл. 4. Вспомогательная функция и) в окончательном результате будет исключена.

Сначала мы минимизируем формулу (8.5) по отношению к фазе изменяющейся в интервале Единственный член в формуле, содержащий фазу, может быть записан в виде

Для любого комплексного числа z величина максимальна по когда действительно и равно Это имеет место, когда Следовательно, член в

формуле (8.5), зависящий от фазы имеет наименьшее значение для оценки

Для этого значения фазы квадратичная форма принимает вид

Затем минимизируем формулу (8.8) по отношению к неизвестной амплитуде сигнала А, которая может иметь любое положительное значение. Полагая производную по А равной нулю, получаем максимально правдоподобную оценку амплитуды сигнала

Это выражение может быть сопоставлено с формулой (7.29). Формула (8.9), однако, все еще содержит неизвестный параметр так что она не дает окончательной оценки амплитуды. Минимальное значение (8.8) по А равно

Это выражение должно быть минимизировано вариацией параметра Первый член не зависит от времени х, поэтому его можно отбросить и максимизировать абсолютное значение второго члена. Так как интервал наблюдения достаточно велик и содержит всю существенную часть сигнала знаменатель этого члена также не зависит от времени х и можно ограничиться рассмотрением только числителя.

Теперь мы должны найти способ образования числителя, чтобы определить, при каком х он принимает максимальное значение. Как увидим дальше, числитель как функция времени х обычно имеет много пиков. Для нас представляет интерес только наибольший из них. Следовательно, еще недостаточно приравнять производную по нулю. Желательно иметь возможность наглядно представить значения рассматриваемого выражения как функцию х так, чтобы пик наибольшей высоты мог быть легко найден. Сначала на основании того, что длина интервала наблюдения велика, заменим пределы интегрирования на и При этом оказывается, что мы должны максимизировать функцию

где решение интегрального уравнения

[ср. с формулами (4.40) — (4.42)]. Решение может быть найдено методом преобразования Фурье. Если положим

где узкополосный спектр шума [см. (2.44)], то получим

Предполагается, что функция при стремится к нулю достаточно быстро и обратное преобразование (8.14) существует. Это справедливо для большинства задач, так как обычно присутствует какой-либо широкополосный шум, подобный тепловому. При этом импульсообразная функция. В случае белого шума она пропорциональна сигналу где спектральная плотность мощности шума.

Вследствие того, что импульсообразная функция, существует некоторый интервал вне которого ее значения пренебрежимо малы: Сконструируем узкополосный фильтр, согласованный с с задержкой Его комплексная импульсная характеристика равна

Комплексная огибающая напряжения на выходе этого фильтра в соответствии с формулой (1.30) имеет вид

Если это напряжение приложено к квадратичному детектору, напряжение на выходе детектора в момент времени пропорционально величине

Из-за импульсообразного характера мы имели возможность расширить интервал интегрирования до Сравнивая формулу (8.17) с формулой (8.11), видим, что

и напряжение на выходе квадратичного детектора в момент есть как раз требуемая величина

Следовательно, чтобы найти максимально правдоподобную оценку времени прихода сигнала х, необходимо измерить только момент времени в который напряжение V) на выходе квадратичного детектора достигает максимума.

Фиг. 8.1. Оценка дальности цели, а — огибающая сигнала на входе, б - импульсная характеристика фильтра; в — напряжение на выходе детектора.

Оценка времени прихода дается при этом соотношением где задержка, обусловленная согласованным фильтром. Если желательно получить оценки амплитуды А и фазы это оценочное значение времени х нужно подставить в формулы (8.9) и (8.7) соответственно. Действительно, пиковое значение напряжения на выходе детектора пропорционально квадрату максимально правдоподобной оценки амплитуды А.

Чтобы пояснить эту процедуру, обратимся к фиг. 8.1, относящейся к случаю белого шума, так что функция пропорциональна огибающей сигнала Первая принятая апроксимация состояла в предположении, что сигнал локализован "глубоко" внутри интервала наблюдения так что можно пренебречь эффектами, вызываемыми перекрыванием сигнала с концами этого интервала. Импульсная характеристика фильтра изображена на фиг. 8.1, б. Как показано на фиг. 8.1, в, продетектированное выходное

напряжение фильтра достигает максимума на сек позже начала сигнала в приемнике. Чем больше задержка тем точнее оценка времени прихода х, подобно тому как вероятность обнаружения сигнала, как было найдено, возрастает, когда принимается во внимание большая часть сигнала. Однако, если задержка достаточно велика, ее дальнейшее увеличение дает лишь незначительное улучшение обнаруживаемости или точности оценки.

Отношение этого способа к обычной радиолокационной системе измерения дальности очевидно. Усилитель промежуточной частоты соответствует согласованному фильтру (8.15), хотя он и не точно согласован с сигналом, а просто имеет полосу, приближенно равную полосе согласованного фильтра. Дальность до цели измеряется по времени появления пика на выходе детектора, соответствующего сигналу. Напряжение на выходе детектора обычно наблюдается на развертке типа А. Как упоминалось выше, это напряжение имеет много пиков из-за присутствия шума. Но если отношение сигнал/шум достаточно велико для практически надежного обнаружения, то есть выделяющийся над всеми остальными один пик, обусловленный сигналом.

Если бы шума не было, пик функции имел бы место при истинном значении времени прихода сигнала. Шум, однако, вызывает смещение этого пика, внося ошибку в измерение времени прихода. В следующем разделе мы вычислим дисперсию этой ошибки для предельного случая большого отношения сигнал/шум. (Вычисления несколько утомительны, и проследить за ними в деталях необходимо только тем, кто хочет приобрести опыт в такого рода анализе.) Дисперсия ошибки оказывается обратно пропорциональной квадрату отношения сигнал/шум к квадрату ширины полосы частот сигнала.