3. Обнаруживаемость сигналов с неизвестной фазой

Система обнаружения, к которой мы пришли в предыдущем разделе, может быть охарактеризована с помощью вероятностей ложной тревоги и обнаружения . В этой системе гипотеза выбирается тогда, когда статистика даваемая (5.34), меньше критического уровня, а гипотеза когда она больше этого уровня. Интересующие нас вероятности при этом равны

Здесь функция плотности вероятности статистики когда входное напряжение состоит из одного шума, а функция распределения, когда входное напряжение является суммой шума и сигнала с фазой . В формуле (5.38) мы допускаем, что вероятность обнаружения может быть функцией фазы сигнала.

Чтобы определить функцию распределения статистики запишем ее как

где х и у — действительные и мнимые части комплексного числа

Компоненты х и у — гауссовы случайные переменные, так как они являются результатом линейных операций над гауссовыми случайными процессами и квадратурными компонентами входного напряжения При гипотезе их средние значения равны нулю, так как Их ковариации Могут быть вычислены следующим путем. Сначала возьмем среднее абсолютного значения квадрата

При этом мы использовали (2.52) и интегральное уравнение (5.35). Аналогично с помощью (2.53) получим

Отсюда Из (5.41) следует

Компоненты х и у статистически независимы, и их дисперсии равны При гипотезе их совместное распределение поэтому выражается формулой

Вероятность ложной тревоги оказывается вероятностью того, что точка с координатами лежит вне круга радиусом Эта вероятность может быть вычислена интегрированием функции совместного

распределения по области вне этого круга:

Мы вычислили интеграл, введя полярные координаты, и попутно показали, что функция распределения статистики гипотезе равна

Это распределение известно как распределение Релея.

Когда гипотеза истинна и присутствует сигнал с определенным значением фазы компоненты х и у в (5.40) опять являются гауссовыми переменными с ковариациями, даваемыми (5.43). Среднее значение комплексной огибающей входного напряжения теперь в соответствии с (5.21) равно так что средние значения компонент х и у даются формулами

Поэтому совместное распределение при гипотезе выражается формулой

Вероятность того, что сигнал будет обнаружен, равна вероятности того, что точка с координатами, лежит вне круга радиусом

Для вычисления этого интеграла введем полярные координаты Элемент площади

Фиг. 51. Функция плотности вероятности выходного напряжения детектора

Используя определение (5.31) функции Бесселя находим

Функция плотности вероятности статистики при гипотезе что присутствует один из сигналов равна

Эта функция распределения изображена на фиг. 5.1 для нескольких значений Кривая для представляет

собой распределение Релея (5.46) для одного шума. Для больших значений функция распределения сильно напоминает гауссово распределение. В самом деле, если для функции Бесселя использовать асимптотическую формулу

функция примет вид

Интеграл в (5.49) не может быть выражен через элементарные функции. Если положим

он выразится через так называемую ффункидю

Эта функция была подробно табулирована Маркумом Их свойства изучены Райсом и Маркумом В частности, отметим формулы

и разложения в ряды

по модифицированным функциям Бесселя Имеются также полезные асимптотические формулы

Когда используется критерий Неймана — Пирсона, критический уровень для статистики выбирается так, чтобы вероятность ложной тревоги даваемая (5.45), была равна предписанному значению. Вероятность обнаружения сигнала при этом выражается формулой (5.49). Оказывается, что эта вероятность и вероятность пропуска не зависят от истинного значения фазы сигнала результат, который и ожидался, так как мы использовали для фазы сигнала наименее благоприятное априорное распределение (5.22).

Вероятность обнаружения является функцией параметра [формула (5.43)], который мы называем отношением сигнал/шум. В случае белого шума спектральная плотность равна как в разд. а отношение сигнал/шум дается формулой

Для узкополосных сигналов величина такая же, как и определенная формулами (4.13) и (4.51). Чтобы это показать, положим в формулах и выразим эти функции через действительные и мнимые части и Тогда окажется, что подынтегральное выражение имеет группы членов, умноженных на или Эти члены по сравнению с остальными осциллируют очень быстро. В узкополосной апроксимации вклад от этих осциллирующих членов в значение интеграла для много меньше, чем от медленно меняющихся членов. Последние и дают формулу (5.43) для Таким образом, мы подтвердили справедливость обозначения величины в формуле (5.43) как отношения сигнал/шум в задаче об обнаружении узкополосного сигнала. В случае белого шума мы снова имеем где энергия сигнала в интервале наблюдения.

На фиг. 5.2 вероятность обнаружения изображена как функция отношения сигнал/шум для различных значений вероятности ложной тревоги На фиг. 5.3 приведены рабочие характеристики рассматриваемой системы обнаружения, т. е. кривые вероятности обнаружения как функции вероятности ложной тревоги для постоянного отношения

(кликните для просмотра скана)

сигнал/шум. Сравнение этих кривых с кривыми фиг. 4.1 и 4.2 показывает, что отношение сигнал/шум требующееся для получения данной вероятности обнаружения при одинаковой вероятности ложной тревоги, когда фаза сигнала неизвестна, несколько больше, чем в случае, когда сигнал известен во всех деталях.

Фиг. 5.3. Рабочая характеристика приемника (сигнал со случайной фазой).

Так, для имеем для сигналов с неизвестной фазой и когда фаза задана. Это увеличение на 0,4 грубо выполняется для большинства кривых фиг. 5.2,

Как описано в подразделе (г) разд. 2 гл. 3, рабочие характеристики фиг. 5.3 могут быть использованы для определения оптимальной стратегии при байесовом и минимаксном критериях. В этом случае, однако, цены не должны зависеть от истинной фазы сигнала (условие, которое, видимо, выполняется в любой ситуации) и равномерное распределение (5.22) должно быть взято в качестве априорного распределения фазы сигнала Это распределение будет опять наименее благоприятным при сделанном выше предположении о ценах.