4. Решение интегральных уравнений

(а) Уравнение Фредгольма первого рода

Чтобы определить импульсную характеристику фильтра, оптимального для обнаружения известного сигнала в гауссовом шуме с функцией автоковариации необходимо решить интегральное уравнение вида

относительно неизвестной функции Так как подобные уравнения часто встречаются в теории линейного прогнозирования и фильтрации, так же как и в теории обнаружения, имеет смысл изучить методы его решения. В выше написанной

форме это "интегральное уравнение Фредгольма первого рода". Непрерывного решения этого уравнения для непрерывной вообще не существует, если только ядро не имеет некоторых особенностей или интегрирование производится в неограниченных пределах [2]. Мы увидим ниже, что для определенных типов ядер решение может быть получено в замкнутой форме, но оно включает в себя дельта-функции и их производные. Первой мыслью является решить уравнение (4.58) численно, заменяя интеграл суммой и решая полученную систему линейных уравнений для значений в конечном числе точек в интервале Однако решение, содержащее дельта-функции, едва ли может быть хорошо апроксимировано таким способом.

Ситуация более благоприятна, когда шум содержит составляющую с равномерным спектром, т. е. когда автоковариация шума имеет вид

где функция непрерывная и среднеквадратично интегрируемая. При этом уравнение (4.58) принимает вид

Это уравнение Фредгольма второго рода. Его решение будет в общем случае существовать, если не является собственным значением интегрального уравнения

(см. [2]). Так как в случаях, встречающихся на практике, положительно-определенное ядро, интегральное уравнение не может иметь отрицательных собственных значений, и о существовании решения можно не беспокоиться. Если окрашенный шум мал, решение уравнения (4.60) может быть получено итерациями

Можно получить численное решение и иначе, заменяя интегрирование суммированием и решая полученную систему уравнений для значений в конечном числе точек в интервале Обсуждение таких численных методов можно найти у Фокса и Гудвина [12]. Пример точного решения уравнения второго рода дан в подразделе (в) этого раздела.

Возвращаясь к уравнению первого рода (4.58), предположим, что функция автоковариации есть сумма экспоненциальных функций Спектр мощности даваемый преобразованием Фурье будет при этом рациональной функцией Шум этого типа получается на выходных клеммах линейного фильтра с сосредоточенными постоянными (сопротивления, емкости и индуктивности), когда на вход фильтра действует гауссов белый шум. Действительно, в этом случае спектр пропорционален коэффициент передачи фильтра есть рациональная функция В этом случае ядро — и) является решением однородного относительно линейного дифференциального уравнения для избавиться от интеграла в уравнении (4.58) можно простым диффгренцированием обеих частей уравнения. Пусть спектр мощности шума записан в виде

где полиномы относительно с действительными коэффициентами. При этом ядро будет удовлетворять дифференциальному уравнению

Чтобы это показать, решлч уразнение (4.63) при помощи преобразования Фурье, используя соотношение

Каждое дифференцирование этого соотношения по дает множитель в подынтегральное выражение, так что

Аналогично для левой части уравнения (4.63) находим

Замечая, что, согласно (4.62), эти два выражения равны, получаем уравнение (4.63).

Если теперь на обе части интегрального уравнения (4.58) подействовать дифференциальным оператором и использовать (4.63), получим

Это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами для частное решение которого может быть найдено при помощи преобразований Фурье или Лапласа. Чтобы исключить эффекты, вызванные конечными пределами интегрирования в (4.58), к этому частному решению нужно добавить решения однородного уравнения с произвольными коэффициентами, а также дельта-функции и их производные, расположенные на концах интервала. Это общее решение задачи затем подставляется в интегральное уравнение (4.58) и произвольные коэффициенты вычисляются из условия, что обе части уравнения равны на интервале Общие формулы для решения уравнения этого типа для случая, когда ядро имеет экспоненциальную форму, даны Заде и Рагаззини [10] и Миллером и Заде [16]. Чтобы проиллюстрировать описанный метод, рассмотрим простой пример. Пусть функция автоковариации шума

При этом спектр мощности

Дифференциальное уравнение (4.64) принимает вид

где штрихи означают дифференцирование по аргументу функции, в нашем случае — по Общее решение, которое должно быть подставлено в интегральное уравнение (4.58), имеет вид

где малое положительное число. Мы включили в аргументы дельта-функций, так что они полностью лежат внутри интервала при этом мы избавляемся от трудностей, связанных с наличием коэффициента 1/2 и возникающих, если дельта-функции расположены точно на концах интервала. Позже мы положим Уравнение (4.58) теперь примет вид

Интегрируя члены, содержащие дважды по частям и полагая получаем окончательно

Так как это выражение должно быть справедливо для всех значений в рассматриваемом интервале, коэффициенты при и должны равняться нулю. Это дает

и решение интегрального уравнения

Здесь дифференцируется, как если бы она была непрерывна при Статистика О, даваемая формулой (4.49), примет вид

Последний член может быть получен с помощью фильтра, согласованного с как описано в разд. 2 этой главы. Хотя решение обычно содержит дельта-функции и, возможно, их производные, они не появятся в статистике испытаний О, когда решение подставляется в формулу (4.49). Чтобы вычислить отношение сигнал/шум в конце интервала наблюдения, положим в формуле (4.67) и проинтегрируем по частям; в результате получим

(б) Однородное уравнение

Когда ядро имеет экспоненциальный вид, как это рассматривалось выше, решение однородного уравнения

выполняется так же, как описано в подразделе На обе части интегрального уравнения действуют дифференциальным оператором что превращает его в однородное дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения может быть записано обычным способом как сумма экспоненциальных функций где корни алгебраического уравнения Это экспоненциальное решение затем снова подставляется

в интегральное уравнение (4.68). Пределы интегрирования обусловят появление некоторых остаточных членов. Эти члены будут только тогда равны нулю, когда параметр X принимает особые значения которые и являются собственными значениями интегрального уравнения. Общие формулы для решения этой задачи даны Юлом [18].

Если уравнение первого рода (4.58) уже решено для произвольной функции решение однородного уравнения не так трудоемко. Проиллюстрируем это для простого ядра уравнения (4.65). Подставив в решение уравнения (4.66), получим

Из уравнения (4.68) видно, что не может содержать дельта-функций. Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение

с граничными условиями

Решением дифференциального уравнения является

Граничные условия дают два уравнения для коэффициентов А и В:

Чтобы существовало ненулевое решение уравнений, детерминант системы должен быть равен нулю:

Это соотношение определяет значения следовательно, по уравнению (4.70) собственные значения Если

пронумеровать собственные значения, начиная с получим из детерминанта следующую систему уравнений:

Четыре первых собственных значения интегрального уравнения изображены на фиг. 4.4 как функции параметра Можно показать, что для 1

и для

Собственные функции пропорциональны для четного для нечетного Как мы выяснили в подразделе (б) разд. 3, число колебаний собственной функции в интервале увеличивается с увеличением индекса в то время как уменьшается. Собственные функции в этой задаче имеют точно нулей в интервале

Если ядро не экспоненциального типа, рассмотренного выше, может оказаться, что точное решение однородного уравнения найти очень трудно. Однако были развиты многочисленные приближенные методы для вычисления собственных функций и собственных значений положительно-определенных линейных операторов, особенно в связи с проблемами квантовой механики. Некоторые методы и ссылки на

литературу по этому предмету даны у Морза и Фешбаха [13, гл. 9]. Мы обсудим только один метод, а именно метод Релея — Ритца, являющийся наиболее простым методом вычисления максимального собственного значения, которое мы обозначим через

Фиг. 4.4. Собственные значения ядра

Для интегрального уравнения типа (4.31) в общем случае с положительно-определенным ядром метод основывается на неравенстве

где произвольная комплексная функция Равенство выполняется, когда пропорционально первой собственной

функции Для доказательства неравенства воспользуемся разложением Фурье

по собственным функциям интегрального уравнения (4.31). В силу соотношений ортонормальности (4.32)

Располагая собственные значения в порядке убывания получим

так как замена в сумме на увеличивает ее значение. Отсюда следует, что Равенство выполняется, когда все за исключением тождественно равны нулю, т. е. когда

Проиллюстрируем метод на примере однородного уравнения с ядром изученного выше. Выберем в качестве значения постоянное: С помощью неравенства (4.75) получим

Построив график зависимости величины от пара метра и сравнив результаты с графиком на фиг, 4.4, можно убедиться, что крайне близкая апроксимация на всем интервале значений Улучшенная апроксимация может быть получена путем использования для линейной комбинации конечного числа функций с произвольными коэффициентами

Это выражение "подставляется в формулу для и коэффициенты варьируются, чтобы получить максимум . В результате получается система линейных уравнений для которые могут быть записаны в виде

Чтобы эти уравнения имели решения не равные тождественно нулю, детерминант системы должен быть равен нулю:

Это алгебраическое уравнение. Его наибольший корень является хорошей апроксимацией наибольшего собственного значения интегрального уравнения. Если этот корень подставить в уравнения системы, ее можно решить относительно коэффициентов Функция

является "При этом апроксимацией где — постоянный множитель, определяемый из условия нормировки (4.32).

(в) Уравнение Фредгольма второго рода

Если автоковариация шума дается формулой (4.59), а функция в этой формуле есть сумма экспоненциальных функций спектр мощности является рациональной функцией Эта ситуация возникает, когда шум частично белый, частично же является результатом фильтрации белого шума контуром с сосредоточенными постоянными. Тогда методика, описанная в подразделе может быть применена для решения интегрального уравнения (4.60), которое является уравнением второго рода. Пусть спектр

сигнала будет а спектр мощности шума

При этом получается дифференциальное уравнение, подобное (4.64). Оно может быть решено при помощи преобразования Фурье, так что

где решение однородного уравнения В решении интегрального уравнения второго рода дельта-функции не появляются. Произвольные постоянные в определяются при подстановке решения, даваемого формулой (4.76), в уравнение (4.60). После выполнения интегрирования останутся функции порождаемые пределами интегрирования. Коэффициенты каждой из этих функций полагают равными нулю и получают систему линейных уравнений для неизвестных коэффициентов в

В качестве примера этой процедуры решим интегральное уравнение, подобное тому, которое появится в следующем разделе. Там сигнал имеет вид

а функция автоковариации шума есть

Соответствующий ей спектр равен

Интегральное уравнение имеет вид

При помощи методов подраздела (а) получим дифференциальное уравнение

решение которого имеет вид

Мы должны подставить это решение в интегральное уравнение (4.79) и выполнить интегрирование. Чтобы исключить члены с и положим Окончательно получим

Постоянные члены обеих частей уравнения сокращаются. Чтобы уравнение было справедливо на всем интервале коэффициенты при и должны быть равны нулю в отдельности. Это условие дает систему уравнений для А и В:

Решение этих уравнений выражается формулами

Подстановка найденных выражений в формулу (4.80) дает искомое решение. Для отношения сигнал/шум получается

На фиг. 4.5 изображено решение для и трех значений При возрастании относительной величины окрашенного шума функция стягивается к концам интервала, переходя, очевидно, в решение уравнения (4.66) в виде дельта-функции.