Глава 9. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ С НЕИЗВЕСТНЫМ ВРЕМЕНЕМ ПРИХОДА

1. Обнаружение по максимальному правдоподобию

(а) Пример из статистики

Прежде чем рассматривать задачи обнаружения сигнала, параметры которого, например время прихода и несущая частота, известны только приближенно, рассмотрим статистические процедуры, указывающие пути решения этих задач. Эти процедуры старше лучше разработанной теории решений, но они приложимы и в ситуациях, в которых последнюю трудно использовать из-за отсутствия знания априорных вероятностей и цен или же вследствие того, что получающаяся стратегия оказывается слишком сложной.

Для примера предположим, что в моменты получены данные Наблюдатель подозревает, что в них содержится линейная закономерность, т. е. что эти данные могут быть представлены в виде

где неизвестные постоянные, а серия случайных чисел. Происхождение может быть обусловлено ошибками при измерении или другими причинами, влияние которых на найденные при измерениях значения непонятно и поэтому не может быть предсказано. Предполагается, что являются независимыми гауссовыми переменными со средним значением, равным нулю, и дисперсией которая чзвестна из прошлого опыта. Если линейной закономерности

нет, просто лишь независимые случайные переменные со средним значением Наблюдатель не знает ни априорной вероятности того, что закономерность существует, ни какой-либо априорной функции распределения наклона если закономерность есть.

Далее выдвигается гипотеза, что закономерность есть, и данные могут быть представлены в форме (9.1). Значения параметров должны быть оценены методом максимального правдоподобия, описанным в гл. 7. Функция плотности вероятности совместного распределения данных при этой гипотезе равна

а максимально правдоподобными оценками являются их значения, максимизирующие эту функцию, когда полученные данные подставлены вместо Это соответствует определению оценок параметров методом наименьших квадратов, дающим следующие результаты:

где

Последнее выражение справедливо, когда разделены равными интервалами х.

Если даже закономерности не существует, из-за случайных ошибок в значение оценки оказывается отличным от нуля. Поэтому следует всегда подозревать, что вычисленное в действительности значение может быть обусловлено только случайным характером данных и закономерности нет. Наблюдатель может проверить эту возможность путем вычисления вероятности того, что значение, равное или большее по абсолютному значению могло бы получиться

при так называемой нуль-гипотезе, состоящей в том, что закономерности нет:

Легко показать, что, когда наклон среднее значение оценки по (9.4) равно нулю, а ее дисперсия

Оценка (9.4) имеет гауссово распределение, так как она является линейной комбинацией гауссовых переменных. Поэтому искомая вероятность

Чтобы определить вероятность того, что вычисленная оценка могла быть вызвана лишь случайными ошибками в данных, наблюдатель сравнивает значение вероятности по с выбранным "доверительным уровнем" например, 0,1; 1 или 5%. Если он принимает нуль-гипотезу, делая заключение, что его оценка обусловлена случайными ошибками. Этому эквивалентно следующее: если решение уравнения

равно X, наблюдатель заявляет, что в данных закономерности нет, когда

Если, например, доверительный уровень равен 1%,

Подведем итог. Чтобы обнаружить возможную линейную закономерность в данных, делается предположение, что такая закономерность есть, и вычисляется максимально правдоподобная оценка ее наклона Эта оценка затем проверяется, чтобы определить, могло ли получиться такое большое значение, как если бы закономерности не было. Для этого находят вероятность того, что получится оценка наклона, равная или большая при нуль-гипотезе. Эта вероятность сравнивается с предписанным доверительным уровнем Если наблюдатель принимает нуль-гипотезу. Если он решает, что закономерность есть и наклон приблизительно равен оценке Этим методом он не решит, что закономерность есть в числе случаев, большем чем от всех случаев, в которых она действительно отсутствует. Таким образом, соответствует вероятности ложной тревоги. Ее значение зависит от относительной частоты, с которой, наблюдатель может допустить такие ошибки.

(б) Приложение к обнаружению сигналов

Описанная выше идея может быть применена к обнаружению сигнала, один или более параметров которого неизвестны. Предполагается, что сигнал ожидаемой формы присутствует во входном напряжении вместе с шумом с известными статистическими свойствами. Параметры сигнала оцениваются методом максимального правдоподобия, описанным в двух последних главах. Эти оценки проверяются, чтобы определить, могли ли они быть получены по входному напряжению если бы оно содержало только шум (нуль-гипотеза). Если соответствующим образом определенный доверительный уровень превышается, наблюдатель заявляет, что сигнала нет. Этот уровень выбирается так, чтобы получить вероятность ложной тревоги, определенную на основе цены решения, что сигнал присутствует, когда его на самом деле нет. Такой метод известен как максимально правдоподобное обнаружение. Мы разработаем стратегии максимально правдоподобного обнаружения для нескольких простых случаев и сравним их со стратегиями, выведенными в предыдущих главах из теории статистических решений.

Пусть входное напряжение наблюдается в интервале в течение которого возникает в определенное время сигнал если только он присутствует. Известна форма сигнала но не его амплитуда Чтобы применить метод максимального правдоподобия, предполагается, что сигнал данной формы присутствует, так что

где напряжение шума, который здесь предполагается белым и гауссовым со спектральной плотностью мощности Максимально правдоподобная оценка А амплитуды сигнала определяется формулой (7.29а):

Как и в разд. 2 гл. 4, эта оценка пропорциональна напряжению в конце интервала наблюдения на выходе фильтра, согласованного с сигналом Наблюдатель затем интересуется вероятностью того, что оценка с абсолютной величиной равной найденной или большей, получится при входном напряжении состоящем из одного шума. Согласно (7.31а), дисперсия оценки, даваемой (9.9), равна

При нуль-гипотезе оценка А является гауссовой случайной переменной с нулевым средним значением, и искомая вероятность, как и в (9.7), равна

Наблюдатель выбирает доверительный уровень Если он решает, что его значение оценки вполне могло быть результатом чистого шума на входе.

Таким образом, он заявляет, что сигнала нет, если

Это эквивалентно сравнению напряжения на выходе согласованного фильтра в конце интервала наблюдения с соответствующим образом выбранным критическим уровнем. Этот уровень определяется так, что система будет давать ложную тревогу в числе случаев, равном от числа опытов, в которых сигнала нет. Видно, что это такая же система, как и найденная в разд. 1 гл. 5 при рассмотрении задачи обнаружения сигнала неизвестной амплитуды. [Если шум не белый, используется оценка снова получается система обнаружения, такая же, как и полученная на основе метода проверки гипотез.]

Переходя теперь к несколько более сложной ситуации, предположим, что сигналом является узкополосный сигнал

с неизвестной амплитудой А и фазой но с известным временем прихода огибающей и заданной несущей частотой. Шум является узкополосным и гауссовым с комплексной функцией автоковариации Правила принятия решения о наличии такого сигнала были разработаны в разд. 4 гл. 5 на основе теории статистических решений.

Чтобы найти стратегию максимально правдоподобного обнаружения, предположим, что входное напряжение состоит из сигнала и шума. Затем определим максимально правдоподобные оценки параметров Выводы будут те же, что и в разд. 1 гл. 8, если в приведенных там формулах положить Из (9.7) и (9.9) следует, что оценка фазы равна

оценка амплитуды сигнала А равна

где решение интегрального уравнения

в котором огибающая сигнала, комплексная функция автоковариации шума.

Эти оценки должны быть проверены при нуль-гипотезе, т. е. в предположении, что комплексная огибающая входного напряжения равна комплексной огибающей чистого шума Сначала мы отметим, что при нуль-гипотезе оценка по (9.12) равномерно распределена в интервале Причина этого в том, что квадратурные компоненты х и у вектора

являются независимыми гауссовыми случайными переменными со средними, равными нулю, и одинаковыми дисперсиями

Следовательно, фазовый угол вектора в интервале принимает все значения с равной вероятностью. Так как оценки при нуль-гипотезе распределены равномерно и фаза ожидаемого сигнала (9.11) неизвестна, значение оценки вычисленное для данного входного напряжения вообще не дает никакой информации, которая может помочь наблюдателю решить, является ли нуль-гипотеза истинной или ложной.

С другой стороны, оценка амплитуды А имеет тенденцию быть меньше при нуль-гипотезе, так что она может служить статистикой испытания. Наблюдатель вычисляет вероятность

того, что оценка, равная или большая будет получена при нуль-гипотезе, и сравнивает ее с предписанным доверительным уровнем Если наблюдатель решает, что сигнала нет. В соответствии с выводами разд. 3 гл. 5 эта вероятность равна

Таким образом, наблюдатель решает, что сигнал присутствует, если Так как оценка в (9.13) пропорциональна напряжению в момент на выходе линейного детектора, следующего за фильтром, согласованным с сигналом система максимально правдоподобного обнаружения снова оказывается такой же, как и найденная раньше методами теории проверки гипотез.

Этот метод может быть распространен на ситуацию, в которой наблюдения напряжения на входе приемника производятся на интервалах, каждый из которых может заключать в себе сигнагл от цели, находящейся на известном расстоянии. Оказывается, что получающаяся в результате система обнаружения такая же, как в разд. 1 гл. 6. Она включает суммирование выходных напряжений с квадратичного детектора, если предполагается, что амплитуды сигнала являются независимыми случайными переменными. Так как выкладки подобны тем, которые будут выполнены в следующем разделе для сигналов с неизвестным временем прихода, мы их здесь опустим.

(в) Связь с теорией решений

Хогя в некоторых простых случаях стратегия обнаружения по максимальному правдоподобию совпадает со стратегией, найденной из теории решений, в общем случае это не так, и она не может рассматриваться как оптимальная

стратегия при любом из критериев этой теории. Однако стратегия максимального правдоподобия может быть получена как апроксимация метода, описанного в разд. 1 гл. 5, предусматривающего образование среднего коэффициента правдоподобия. Так, было показано, что, если цены не зависят от истинных значений неизвестных параметров сигнала, решение может основываться на среднем коэффициенте правдоподобия даваемом формулой (5.4). Этот средний коэффициент зависит от априорного распределения параметров Он сравнивается с критическим значением выбранным в соответствии с одним из критериев решений гл. 3. Тот же средний коэффициент правдоподобия требуется и при применении критерия Неймана — Пирсона, когда априорное распределение задано или о его виде можно сделать обоснованное предположение.

Если мы для простоты ограничимся случаем обнаружения в белом шуме со спектральной плотностью мощности средний коэффициент правдоподобия выразится формулой

Здесь комплексная огибающая сигнала, огибающая входного напряжения а функционал равен

Формула для среднего коэффициента правдоподобия (9.16) получена из формулы (5.30) переходом к пределу при в предположении белого шума с автоковариацией в виде дельта-функции (2.56).

Рассматривая выражение как функцию параметров х для данной огибающей входного напряжения найдем, что она имеет пики при тех значениях, которые даются максимально правдоподобными оценками Экспоненциальная функция увеличивает пики функционала Предполагая, что имеется наибольший пик, доминирующий в подынтегральном выражении в (9.16), найдем, что средний коэффициент правдоподобия приближенно выражается формулой

в которой интегрирование должно производиться по всему диапазону параметров. Для значений параметров х, близких к оцененным экспонента подынтегрального выражения зависит от компонент вектора а квадратично:

Если пик острый, можно использовать эту апроксимацию в (9.18), вычисляя интегралы в интервале — Окончательно получаем

Теперь приравняем амплитуде сигнала, а приравняем фазе сигнала и запишем (9.17) в виде

где комплексная огибающая сигнала равна означает остальные неизвестные параметры сигнала. При этом методами, использованными выше, легко показать, что оценки амплитуды и фазы даются формулами

и (9.19) принимает вид

В большинстве задач множители перед экспонентой значительно менее зависят от изменений во входном напряжении чем сама экспоненциальная функция. Следовательно, сравнение среднего коэффициента правдоподобия с его критическим значением грубо говоря, эквивалентно сравнению величины

с соответствующим образом выбранным критическим уровнем. Это как раз и есть стратегия, предписанная методом

максимального правдоподобия, так как знаменатель приведенного выше выражения обычно является медленно меняющейся функцией параметров , и именно оценка (9.22) амплитуды сигнала А, вычисленная при гипотезе, что присутствует сигнал вида проверяется при нуль-гипотезе, т. е. в предположении, что входное напряжение состоит из одного шума. В статистику испытания (9.22) должны быть подставлены максимально правдоподобные значения других неизвестных параметров таких, как время прихода или несущая частота сигнала. При выводе этой приближенной стратегии мы использовали предположение, что априорное распределение всех неизвестных параметров имеет ббльшую ширину по сравнению с шириной пика экспоненциальной функции в (9.16), так что оно не сильно влияет на оценки параметров.

Если наблюдения делаются на некотором числе интервалов с независимыми амплитудами сигналов экспоненциальная функция в (9.23) будет содержать сумму показателей экспонент тех же функционалов входного напряжения каждого интервала. Это снова говорит о том, что напряжения с выхода квадратичного детектора должны задерживаться и суммироваться перед сравнением с критическим уровнем.

Приведенный выше анализ подтверждает замечание Бартлетта [8] о том, что при испытании сложных гипотез часто достаточно подставить максимально правдоподобные значения неизвестных, "вредных" параметров. Вудворд [7] также отмечал, что экспоненциальная функция подчеркивает пики продетектированных выходных напряжений фильтра при поиске сигналов, зависящих от неизвестных параметров. Основное предположение метода максимального правдоподобия состоит в том, что шум в любом интервале наблюдения представляет собой систему значений, соответствующих максимальной плотности вероятности, совместимой с интерпретацией входного напряжения как суммы шума и сигнала некоторого специального типа, так как значения шума в районе наивысшей плотности вероятности имеют тенденцию осуществляться относительно чаще, чем другие, более "отдаленнее" значения. Можно ожидать, что метод максимального правдоподобия будет давать хороший результат в смысле "длительного успеха".

Стратегия теории решений трудна для осуществления в сложных ситуациях, метод же максимального правдоподобия часто оказывается адэкватным приближенным решениям вадачи испытания сложных гипотез.