2. Оптимальный обнаружитель стохастических сигналов

(а) Уравнение фильтра

Для обсуждавшегося в предыдущем разделе оптимального обнаружения стохастических сигналов, смешанных с белым шумом, необходимо образовать статистику испытания

где образцы огибающей на входе полученные так же, как и в (11.5), а собственные значения интегрального уравнения (11.6). В этом разделе мы предполагаем, что статистика существует, т. е. что переход к пределу при бесконечном числе образцов справедлив. Мы покажем, что может быть также записана в виде

где - решение некоторого интегрального уравнения, которое мы сейчас выведем.

Прежде всего замечаем, принимая во внимание определение (11.5) образцов и ортонормальность собственных функций по (11.6), что (11.18) и (11.19) эквивалентны, если

Умножая обе части (11.20) на и интегрируя в интервале получаем ввиду справедливости интегрального уравнения (11.6),

Если это равенство добавить к (11.20) и использовать (11.16), найдем, что функция является решением интегрального уравнения

Позже мы рассмотрим, как решить это уравнение.

Прайс [14] показал, как можно образовать статистику испытания применяя соответствующим образом согласованный линейный фильтр с изменяющимися во времени параметрами. Он записывает выражение (11.19) в виде

Это выражение справедливо, так как Для каждого значения функция

равна взвешенному среднему входного напряжения существовавшего до момента времени Она может быть найдена пропусканием входного напряжения через линейный фильтр с переменными, параметрами, имеющий узкополосную импульсную характеристику

Напряжение на выходе этого фильтра в момент времени равно Оно умножается в каждый момент на входное напряжение высокочастотные компоненты произведения удаляются с помощью фильтрации.

Фиг. 11.1. Оптимальный обнаружитель для стохастических сигналов.

Выписывая коэффициенты для членов с и перемножая их, легко показать, что это произведение равно

Это выражение интегрируется низкочастотным фильтром с импульсной характеристикой

Выходное напряжение этого фильтра в момент времени равно

Работа этой системы иллюстрируется фиг. 11.1. Описанное выше перемножение может быть проще всего выполнено

пропусканием суммы через квадратичный детектор, напряжение на выходе которого равно

Отдельно продетектированные выходные напряжения затем вычитаются, чтобы осталось только желаемое произведение.

Мидлтон [16] высказал мысль, что статистика испытания может быть образована надлежащим образом согласованным фильтром с постоянными параметрами, за которым следует квадратичный детектор и интегрирующий фильтр. Пусть комплексная импульсная характеристика узкополосного фильтра будет и пусть входное напряжение начинается при При этом комплексная огибающая напряжения на выходе фильтра в момент времени описывается выражением

Напряжение на выходе квадратичного детектора равно -Если оно интегрируется низкочастотным видеофильтром с импульсной характеристикой напряжение на выходе этого фильтра в момент равно

Так как при интегрирование можно распространить от до без изменения получаемого значения. При этом мы можем изменить порядок интегрирования. В результате получаем

Следовательно, если принять, что

напряжение на выходе видеофильтра в момент будет равняться даваемому формулой (11.19). В системе Мидлтона видеофильтр является идеальным интегратором:

В любом случае для неприменимо, но обеспечивает дополнительную степень свободы, которая может позволить в некоторых случаях решить уравнение (11.23). Это нелинейное уравнение, решение которого до сих пор еще не было опубликовано.

Определяющее интегральное уравнение (11.21) является частным случаем важного общего уравнения

для функции которая называется резольвентным ядром для первоначального ядра Название указывает на использование ее для решения уравнения Фредгольма второго рода

Можно показать, что решение этого уравнения имеет вид

Чтобы это вывести, используется разложение Фурье резольвентного ядра

которое в свою очередь следует из (11.24), если сделать разложение Фурье его членов и использовать (11.6) и (11.16). Свойства резольвентного ядра рассмотрены у Куранта и Гильберта [1, гл. III]. Функция определяющая оптимальный обнаружитель, дается соотношением Во многих практических случаях интегральное уравнение (11.24) принадлежит к типу, рассмотренному Миллером и Заде [15]. Они дали методы его решения, пример применения которых будет рассмотрен ниже.

Другой важной функцией, связанной с интегральным уравнением (11.6), является "определитель Фредгольма" который выражается формулой

где — собственные значения интегрального уравнения. Будучи функцией комплексной переменной z, этот определитель имеет нули в точках Он относится к определителям, получающимся, когда уравнение Фредгольма, содержащее ядро пытаются решить, заменяя интеграл конечной суммой и приводя уравнение к системе линейных уравнений [1, гл. III]. Прологарифмировав (11.26), найдем после нескольких простых преобразований

Если теперь положим в и проинтегрируем, то получим выражение, стоящее в правой части этого уравнения, что доказывает важную формулу

Уровень для статистики испытания когда используется критерий Байеса, дается формулой (11.14). Сравнивая ее с (11.26), мы видим, что он может быть записан как

где член зависит только от априорных вероятностей и цен, а член определяется характеристиками сигналов и шума.

В большинстве случаев решить интегральное уравнение (11.21) или (11.24), определяющее импульсную характеристику оптимального фильтра с переменными параметрами для обнаружения стохастических сигналов, очень трудно. Если сигнал мал по сравнению с шумом, уравнение (11.21) может быть решено методом итераций:

Использование только первого члена соответствует тому, что Мидлтон [16] называет "пороговым обнаружением", обеспечивающим почти оптимальное обнаружение, когда отношение сигнал/шум мало.

(б) Пример

Для иллюстрации идей этого и следующих разделов мы рассмотрим простейший случай, который был проанализирован также Прайсом [14] и другими. Модуляция сигнала в (11.1) считается постоянной, а случайные сигналы

получаются при пропускании белого шума через простой узкополосный резонансный контур с полосой разд. 4 гл. 1). При этом автоковариацией в (11.3) будет

Интегральное уравнение (11.6) для этого ядра было уже решено в подразделе (б) разд. 4 гл. 4. Собственные значения даются формулой (4.72). Уравнение (11.24) теперь принимает вид

Для решения этого уравнения могут быть применены методы, описанные в гл. 4. Если на обе части уравнения подействовать дифференциальным оператором где и использовать формулу

то получим дифференциальное уравнение

Частное решение этого уравнения, найденное с помощью преобразования Фурье, равно Чтобы учесть начальные условия, к нему нужно добавить решения, пропорциональные Таким образом, наше решение имеет вид

где функции Чтобы их определить, подставим (11.32) в (11.31). Выполнив интегрирование и использовав данное выше определение найдем, что члены пропадают в соответствии с правой частью (11.31). Остаются только члены, пропорциональные или или Приравнивая отдельно коэффициенты каждой из этих функций

лулю, найдем два линейных уравнения для А к В, решение которых обычным способом дает

Подставив эти значения в (11.32) и рассматривая отдельно случаи после группировки членов получим решение в виде

Решение для находится путем перестановки в этом выражении Функция обнаружителя фигурирующая в формуле (11.19), дается выражением (11.34), когда используется Подставив это выражение в (11.22), получаем статистику испытания

Можно предполагать, что знаменатель в (11.33) связан с определителем Фредгольма для ядра (11.30), так как он получился при решении системы двух уравнений для коэффициентов Если решение уравнения (11.34) подставить в (11.27), после довольно длинных вычислений найдем, что функция в этой задаче дается выражением

К счастью, этот результат может быть доказан [и без вычисления интегралов в (11.27) с помощью применения

теоремы факторизации Адамара [2, гл. 7], которая утверждает, что целая функция конечного порядка может быть выражена каноническим произведением ее нулей, умноженным на где полином степени, не превышающей Каноническое произведение есть бесконечное произведение вида (11.26). Целая функция — это функция, которая не имеет особенностей в конечной части комплексной плоскости; из формулы (11.36) для видно, что является целой функцией. Порядок целой функции указывает на скорость, с которой она увеличивается при больших значениях целая функция порядка возрастает как Когда велик, преобладающий член в (11.36) пропорционален величине приближенно равной по абсолютной величине Поэтому порядок функции равен Это означает, что функция должна быть постоянной величиной. Так как обе функции в (11.26) и (11.36) при обращаются в единицу, коэффициент равен единице. Единственно, что осталось доказать, состоит в том, что нули функции в (11.36) имеют место в точках как и в (11.26). Это можно сделать, показав, что уравнение

сводится к уравнению (4.72), которое дает собственные значения интегрального уравнения (11.6) в этом примере.

В настоящем примере пороговый обнаружитель для стохастических сигналов с функцией автоковариации (11.30) основан на апроксимации дающей статистику

Член

пропорционален огибающей выходного напряжения простого узкополосного резонансного контура с полосой настроенного на несущую частоту . Это выходное напряжение умножается на входное так же, как было описано в подразделе Произведение интегрируется за время Такая система порогового обнаружения может быть сделана независимо от истинной мощности сигнала которая может быть заранее не известна. Оптимальная же система зависит от уровней и сигналов и шума.

К сожалению, кажется, нет соответствующей простой апроксимации в общем случае, когда отношение сигнал/шум велико. В приведенном выше примере из (11.34) видно, что для больших отношений сигнал/шум и большого времени интегрирования когда преобладающий член в функции пропорционален Следовательно, оптимальная система обнаружения приближенно такая же, как пороговая система, описанная выше, за исключением того, что полоса пропускания входного фильтра равна вместо

В следующем разделе мы проанализируем проблему определения вероятностей ложной тревоги и обнаружения для таких систем обнаружения, обращая основное внимание на пороговый обнаружитель.