ГЛАВА 3. ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ ВОКРУГ СФЕРИЧЕСКОЙ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ

§ 3.1. Слабые поля в метрике Шварцшильда

В этой главе мы опишем эволюцию физических полей во внешнем поле сферической черной дыры. Зная эту эволюцию, можно с успехом изучать различного рода процессы, связанные с черными дырами. К таким процессам относятся, например, излучение гравитационных, электромагнитных и других волн частицами, падающими в черную дыру, несферический гравитационный коллапс при ее образовании, рассеяние ею падающих извне волн разной природы и т.д.

Мы будем считать поля слабыми в том смысле, что их тензор энергии-импульса слабо искажает метрику черной дыры, и будем пренебрегать этим обратным влиянием на фоновую метрику.

Далее, мы остановимся здесь только на «классических» полях с нулевой массой покоя и целочисленным спином (для других полей будет указана литература). Разумеется, следуя общему плану книги, в этой главе мы рассматриваем только классическую теорию полей, оставляя обсуждение квантовой теории до гл. 9, 10.

Мы приведем постановку задачи, укажем метод ее решения и физические выводы. Полная математическая трактовка вопроса дана в книге Чандрасекара (1983), физически ясное изложение основных положений — в книге Мизнера, Торна, Уилера (1973) и в обзоре Торна (1972).

Особый интерес представляют гравитационные возмущения метрики Шварцшильда, которые являются частным случаем рассматриваемых здесь полей. Мы остановимся на них подробно в §§ 3.2 и 3.3. Изложение физики этого вопроса особенно четко дано в обзоре Торна (1976).

Рассмотрение поведения неклассических полей (нейтринного, пионного и т.д.) читатель найдет в работах Хартли (1971, 1972), Тетельбойма (1972а, b, с), Бекенштейна (1972а, b), Детвилера (1980), Сибгатуллина (1984, Чандрасекара (1979b, 1983).

В книге Сибгатуллина (1984, помимо эволюции нейтринных полей, излагаются многие аспекты математической теории волновых процессов вблизи черной дыры. Особое внимание уделяется электрически заряженным черным дырам, о чем мы будем говорить позже (см. гл. 8). В указанных работах имеется подробная библиография оригинальных статей.

Рассмотрим слабое поле нулевой массы покоя и с целочисленным спином х во внешней метрике Шварцшильда. Для это слабые гравитационные возмущения на фоне метрики.

Оказывается, для каждого поля можно найти полный набор калибровочно-инвариантных динамических переменных — функций определенных во внешнем пространстве-времени черной дыры, таких, что

(1) могут быть произвольно заданы в начальный момент;

(2) после задания (1) эволюция полностью определяется одним волновым уравнением;

(3) известные позволяют вычислить все параметры исследуемого поля путем применения дифференциальных операторов и алгебраических преобразований;

(4) известен метод, по которому по заданным параметрам исследуемого поля (в любой калибровке) можно найти

Знание эквивалентно знанию эволюции исследуемого поля. Таким образом, задача сводится к нахождению Полное решение этой задачи было получено в результате усилий многих физиков — см. Редже, Уилер (1957), Эдельстейн, Вишвешвара (1970), Зерилли (1970 а, Ь), Прайс (1972 а, Ь), Торн (1972), Пресс, Бардин (1971), Бардин, Пресс (1973), Монкриф (1974 а), Чандрасекар, Детвилер (1975 а). Современное изложение этого вопроса см. в книге Чандрасекара (1983).

Общий путь решения состоит в следующем. Рассматриваемое поле разлагается на сферические гармоники (для это скалярные гармоники, для векторные, для тензорные и т.д.). Каждая сферическая гармоника характеризуется, в частности, номером мультиполя Для монополя для диполя и т.д. Мультиполи с не эволюционируют со временем, и мы будем рассматривать нетривиальные мультиполи Эти мультиполи носят название радиационных.

Прайс (1972 а, Ь) показал, что для каждого радиационного мультиполя любого поля со спином х существует скалярное поле зависящее только от такое, что его дифференцированием и алгебраическими операциями можно получить все компоненты исходного поля данной мультипольности. Каждая такая скалярная функция удовлетворяет уравнению [см. также (3.2.1)]

— эффективный потенциал, определяющий эволюцию поля Этот эффективный потенциал зависит от (и, конечно, также от и

Для скалярного, векторного и тензорного полей соответственно

Несмотря на разную форму этих потенциалов, они не сильно отличаются друг от друга, их асимптотики при и другие свойства, определяющие эволюцию волновых полей, сходны. Поэтому эволюция радиационных мультиполей полей с разными х также оказывается сходной. Вследствие этого для многих задач достаточно рассмотреть поведение какого-либо одного поля.

Как мы уже говорили, особый интерес представляет исследование поведения гравитационных возмущений метрики Шварцшильда, являющих собой гравитационные волны, т.е. частный случай поля со спином

Остановимся на этом случае более подробно.