§ 5.3. Теорема Элерса — Сакса. Фокусировка световых лучей гравитационным полем

Целый ряд важных свойств черных дыр непосредственно связан с тем, что горизонт событий, ограничивающий черную дыру, является световой поверхностью. Поэтому, прежде чем перейти к изучению этих свойств, остановимся более подробно на описании световых поверхностей в искривленном пространстве-времени.

Пусть в пространстве-времени с метрикой задана световая поверхность уравнение которой в локальных координатах записывается в виде Тогда градиентный вектор является световым на Вне это соотношение, вообще говоря, не выполняется. Однако можно показать [см., например, Курант (1962)], что произвол в выборе функции может быть использован так, что поверхность окажется включенной в однопараметрическое семейство световых поверхностей Без ограничения общности будем считать, что такое включение произведено. Тогда

Если обозначить то соотношение (5.3.1) означает, что вектор световой и является касательным к поверхностям Более того, используя свойство - и равенство (5.3.1), имеем

т.е. интегральные кривые векторного поля

являются геодезическими, причем аффинный параметр. Если начальная точка интегральной кривой (53.2) лежит на световой поверхности то она целиком принадлежит этой поверхности, а сама образована двумерным семейством световых геодезических (образующих). Пусть аффинный параметр вдоль образующих, а непрерывные параметры, их «нумерующие”. Тогда решение уравнения можно записать в следующем параметризованном виде: причем имеют место соотношения

С физической точки зрения поверхность описывает распространение фронта световой волны, а ее образующие — световые лучи, ортогональные фронту. Если выделить узкий пучок световых лучей, то информацию об их поведении можно получить с помощью следующего эксперимента. Расположим на пути пучка (ортогонально ему) непрозрачный объект, а на некотором расстоянии от объекта поместим ортогонально пучку экран. Тогда теорема, доказанная Элерсом и Саксом [Йордан и др. (1961), Сакс (1961)], утверждает, что все части тени достигают экрана одновременно; размер, форма и ориентация тени зависят только от положения экрана и не зависят от скорости движения наблюдателя, а если экран расположен на малом расстоянии от объекта, то увеличение и деформация тени определяются величинами в и где

Мы воспроизведем здесь основные этапы доказательства этой теоремы применительно к рассматриваемому случаю. Это позволит нам более

Рис. 54. Иллюстрация к теореме Элерса - Сакса о распространении световых лучей

детально описать ряд важных характеристик световых поверхностей. Пусть световой луч описываемый уравнением , пересекает мировую линию наблюдателя в точке и четырехмерная скорость наблюдателя в этот момент есть (рис. 54). С точки зрения наблюдателя множество 11] событий одновременных этому событию, удовлетворяет условию

Выберем аффинный параметр так, чтобы в точках пересечения лучей пучка с выполнялось условие Если потребовать, чтобы смещения дополнительно удовлетворяли условию

то эти два условия совместно определяют двумерную площадку, перпендикулярную (в системе отсчета пучку световых лучей. Пусть единичные ортогональные друг к другу векторы, а

Тогда имеем

Предположим теперь, что на пути светового пучка расположен объект, причем так, что часть двумерной площадки, ограниченная кривой

оказывается непрозрачной для световых лучей. Тогда за площадкой возникнет область тени, граница которой определяется условием

где значение параметра светового луча, проходящего через точку площадки (б), а

Пусть световой луч То при продолжении в точке пересекает мировую линию 2 другого наблюдателя, четырехмерная скорость которого в этот момент равна (см. рис. 54). С точки зрения этого наблюдателя пространство 112 событий, одновременных с растягивается векторами удовлетворяющими соотношению Используем произвол в выборе аффинного параметра, чтобы добиться выполнения равенства для всех световых лучей пучка в точках их пересечения с Нетрудно убедиться, что двумерная площадка . описывающая положение фронта волны в момент в системе отсчета ортогональна направлению светового луча, касательный вектор к которому Тем самым доказано, что все части тени одновременно достигают экрана, расположенного перпендикулярно пучку.

Размер, форма и ориентация изображения на экране определяются однозначно, если известны скалярные произведения для произвольной пары векторов, соединяющих точку с точками попадания на экран световых лучей с параметрами Нетрудно убедиться в том, что при переходе в другую систему отсчета векторы преобразуются следующим образом: а значения скалярных произведений остаются неизменными:

Тем самым показано, что размер, форма и ориентация тени не зависят от скорости движения наблюдателя.

Поскольку характеристики изображения на экране не зависят от выбора наблюдателя, возьмем, для удобства, в качестве вектор, получаемый из параллельным переносом вдоль Обозначим через результат такого переноса вектора Поскольку при параллельном переносе сохраняется ортогональность векторам то растягивают двумерную площадку экрана, ортогонального световому пучку в системе отсчета Определим вектор соединяющий точку с аффинным параметром луча с точкой с тем же аффинным параметром на световом луче у с параметрами Используя выражение для и свойство симметрии имеем

Вектор отвечает точке попадания луча у на экран. Обозначим вектор, получаемый в точке в результате параллельного переноса вектора вдоль :

Поскольку в начальной векторы и совпадают, то для малых расстояний экрана от объекта находим

Умножая обе части этого равенства на та и обозначая

получаем

Таким образом, отображение

устанавливает связь между формой предмета и формой тени.

Если в качестве предмета выбрать круг, граница которого то граница тени определяется соотношением

описывающим эллипс с полуосями площадь которого равна и, следовательно, фактор определяет увеличение линейного масштаба. Модуль сдвига определяет степень сжатия круга и выражается через

Величины зависящие от выбора векторов и характеризующие расширение и сдвиг конгруэнции световых лучей, получили название оптических скаляров. Следует подчеркнуть, что инвариантами являются величины при изменении аффинного параметра преобразуются линейным образом. Нетрудно убедиться, что если рассматриваемая световая поверхность включена в семейство световых поверхностей то

Следует подчеркнуть, что поскольку - то оптический скаляр для конгруэнции световых лучей, образующих поверхность является действительной величиной: Полученные выше соотношения завершают доказательство теоремы Элерса — Сакса.

Если обозначить площадь сечения узкого светового пучка через то ее изменение описывается следующим уравнением, вытекающим из

При площадь сечения пучка при увеличении аффинного параметра убывает.

Поведение оптических скаляров и о вдоль световых лучей описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Вывод этих уравнений основан на использовании тождества

Умножая обе части этого соотношения на выбирая для удобства параллельно переносимым вдоль учитывая условие геодезичности исоотношение получаем следующее уравнение:

где Аналогично выводится уравнение для о:

где — тензор Вейля [см. ].

Если предположить, что имеется пробный пучок, образованный световыми лучами, для которого в начальный момент выполнено условие то часть кривизны действует как линза без астигматизма (а остается равным нулю), в то время как часть кривизны действует как чисто астигматическая линза остается равным нулю).

Соотношение (5 3.22) позволяет доказать следующее важное утверждение.

Теорема о фокусировании. Пусть и в некоторой точке светового пучка выполняется неравенство тогда на конечном расстоянии от этой точки пучок света достигает фокальной точки и площадь его сечения обращается в нуль.

Для доказательства этого утверждения достаточно воспользоваться следующим соотношением:

которое получается из (5.3.20) с помощью дифференцирования и уравнения (5.3.22). Поскольку правая часть этого соотношения неположительна, то при следовательно, обращается в нуль при значении параметра удовлетворяющем неравенству

Если гравитационное поле описывается уравнениями Эйнштейна, то условие эквивалентно соотношению Это условие выполняется, в частности, если тензор энергии-импульса, описывающий распределение вещества и полей, удовлетворяет слабому энергетическому условию (см. Приложение), т.е. плотность энергии в системе отсчета произвольного наблюдателя неотрицательна. Для доказательства того, что вытекает из слабого энергетического условия, достаточно рассмотреть предельный случай, когда

Имеются основания считать, что при описании вещества и физических полей в рамках классической теории слабое энергетическое условие всегда выполняется. Это означает, что всякий поток энергии-импульса через световую поверхность оказывает фокусирующее действие на световые лучи.