§ 3.4. Степенные «хвосты» гравитационного излучения

Рассмотрим теперь асимптотику приближения возмущенного поля черной дыры к невозбужденному состоянию при [Прайс (1972а, b), Торн (1972)].

Эта асимптотика определяется следующими процессами. Пусть к границе черной дыры падает источник возмущений. Это может быть, например, частица, падающая в черную дыру, или «рябь» на поверхности сжимающегося шара при формировании черной дыры.

Для исследования возмущений мы по-прежнему пользуемся техникой, описанной в § 3.2. Наша задача сводится к анализу асимптотики поведения функции при больших временах Источник возмущений приближается к границе черной дыры см. (3.2.1)] со скоростью, стремящейся к с (см. гл. 2). Это значит, что для наблюдателя, покоящегося в системе отсчета Шварцшильда, все процессы на источнике возмущений должны «застывать» при подобно застыванию их на поверхности коллапсирующей звезды (см. гл. 2). К константе должно стремиться на источнике и поле Можно показать, что это застывание происходит по закону (для любого мультиполя)

где константы. Затухающая часть имеет характерное время изменения порядка Поэтому волны этой частоты будут частично отражаться от потенциального барьера и идти вновь к черной дыре а частично проходить сквозь барьер и уходить на бесконечность Постоянная же часть порождает возмущение

бесконечной длины волны, которая полностью отражается барьером и не выходит к внешнему наблюдателю. Следовательно, к нему будут приходить непосредственно от источника возмущения только экспоненциально затухающие волны. Однако затухание всего излучения не будет экспоненциальным, так как оно связано с рассеянием первичных волн на «хвостах» потенциального барьера (т.е. на кривизне пространства). Прежде чем выяснять детально, к чему это ведет, рассмотрим подробнее прохождение волн через потенциальный барьер [Торн (1972)].

Пусть волна идет от дыры наружу (от Разложим в интеграл Фурье:

Часть этой волны отражается, а часть проходит сквозь барьер. С помощью уравнений (3.2.2) и (3.1.2) можно показать, что общее решение для такой волны имеет следующий асимптотический вид для

где коэффициент отражения, - коэффициент прохождения волны, идущей направо, т.е. от (индекс Для малых вид коэффициентов следующий:

Здесь константы порядка единицы. При волны испытывают полное отражение.

Для волн, распространяющихся налево (от , индекс (I)), можно получить аналогичное решение с коэффициентами

у и - константы порядка единицы. При снова полное отражение от барьера.

Вернемся теперь к закону затухания волн при Рассмотрим область т.е. вне потенциального барьера. Волны от источника, частично прошедшие через барьер, испытывают рассеяние назад на «хвосте» потенциала при Эти волны доходят до , вновь отражаются от потенциального барьера и интерферируют с идущими назад волнами. Рассеяние назад и интерференция и определяют закон затухания. Он оказывается следующим:

В область также проникают волны, рассеянные на «хвосте» потенциала. В результате затухание в этой области определяется той же формулой (3.4.9).

Итак, асимптотика затухания радиационных мультиполей возмущений гравитационного поля черной дыры при определяется формулой (3.4.9). Напомним, что возмущение поля с (соответствующее моменту импульса) не изменяется вообще (это нерадиационная мода). Все остальные мультиполи возмущений (т.е. с полностью исчезают при

Таким образом, при коллапсе слегка несимметричного тела без вращения возникает сначала слегка возмущенная черная дыра слегка возмущенной границей и возмущенным внешним полем), но эти возмущения все излучаются (частично наружу, частично внутрь черной дыры) и при черная дыра в точности описывается метрикой Шварцшильда.

Этот же вывод справедлив и для полей со спином, отличным от двух. Все радиационные мультиполи таких полей также излучаются и асимптотика их затухания определяется той же формулой (3.4.9). Прайс сформулировал этот вывод следующим образом: что может излучиться, излучается полностью”.

Заметим в заключение, что вывод о неизбежности излучения радиационных мод поля с (электромагнитного) был получен Гинзбургом (1964, Гинзбургом и Озерным (1964), а для поля с (гравитационного) Дорошкевичем и др. (1965), Новиковым (1969).