§ 5.6. Теоремы о сингулярности внутри черных дыр

При анализе сферического коллапса было отмечено, что по крайней мере в рамках общей теории относительности он неизбежно приводит к возникновению сингулярности. В процессе коллапса растут инварианты, характеризующие кривизну пространства-времени, и через конечное время по часам на коллапсирующем теле в его центре кривизна неограниченно вырастает. Это происходит, когда граница -области пересекает линию Дальнейшее продолжение мировых линий частиц и лучей света, «достигших” образовавшейся сингулярности, оказывается невозможным, и поэтому неполнота пространства, связанная с обрыванием световых лучей и мировых линий на сингулярности при конечном значении аффинного параметоа, является принципиально неустранимой.

При описании коллапса шара из пылевидного вещества в рамках обычной ньютоновской теории гравитации также возможна ситуация, когда плотность вещества и приливные силы неограниченно растут. Существенно, однако, что учет сил давления или малых отклонений от сферической симметрии принципиально изменяет ситуацию так, что максимальные значения плотности вещества и приливных сил (которые в ньютоновской теории аналогичны кривизне пространства-времени) становятся ограниченными. Таким образом, сингулярность в ньютоновской теории вырождена, неустойчива в том смысле, что возникает лишь в крайне специальной ситуации. Достаточно малых возмущений, и сингулярность исчезает.

О том, что ситуация в общей теории относительности существенно иная и развитие сингулярности внутри черных дыр неизбежно происходит при достаточно общих условиях, свидетельствует ряд строгих теорем.

Если предположить, что выполняется слабое энергетическое условие и возникла ловушечная поверхность (это означает, что имеется черная дыра), то площади поверхности фронта выходящего и входящего излучения уменьшаются. С другой стороны, поскольку скорость движения вещества не превосходит скорости света, между этими уменьшающимися поверхностями все время будет находиться то вещество, которое когда-либо попадало вэту область. Оно будет сжиматься, а его плотность возрастать. При этих условиях естественно ожидать возникновения сингулярности или какой-либо иной «неприятности”.

О каких «неприятностях” может идти речь? Дело в том, что до сих пор под сингулярностью мы понимали бесконечную кривизну пространства-времени. Подобную бесконечность заведомо следует называть физической сингулярностью, ибо если какая-либо мировая линия частицы упирается в эту бесконечность, то, далее, линия принципиально не может быть продолжена. Существование частицы здесь обрывается. Однако этим особенности пространства-времени, которые следует называть сингулярностью, не исчерпываются, что связано с возможностью сложной топологии пространства-времени и индефинитностью его метрики. Рассмотрим, например, такую ситуацию. Пусть в некотором месте пространства-времени имеется бесконечная кривизна — сингулярность. Вырежем из пространства-времени эту сингулярность вместе с некоторой окрестностью. В оставшемся многообразии нет бесконечной кривизны. Следует ли оставшееся многообразие считать не имеющие сингулярности? Такое заключение было бы, конечно, неверным. Дело в том, что мировые линии, которые ранее упирались в бесконечную кривизну, теперь обрываются на границе вырезанной области. Это тоже физическая особенность, которую следует назвать сингулярностью. Принято называть сингулярностью не только бесконечную кривизну, но и любую конечную точку на мировой линии частицы (или фотона) или на времениподобной. геодезической, если за эту точку нельзя в принципе продолжить эту линию. При этом конечная точка — сингулярность — должна лежать на конечном расстоянии или при конечном значении аффинного параметра для нулевой геодезической. Таким образом, в более общем случае сингулярность определяется как неполнота мировых линий в пространстве-времени [подробнее 96 этом см. Героч (1968), Шмидт (1971), Героч и др. (1972), Хокинг, Эллис (1973), Кларк (1973, 1975, 1976), Героч и др. (1982), Типлер и др. (1980)].

Рис. 63. Иллюстрация к доказательству теоремы Пенроуза о сингулярности внутри черной дыры

После данных разъяснений вернемся к обсуждению проблемы о неизбежности возникновения сингулярности внутри ловушечных поверхностей. Соответствующая теорема, доказанная Пенроузом (1965а), гласит:

Пусть выполнено слабое энергетическое условие и в пространстве-времени, допускающем некомпактную поверхность Коши имеется ловушечная поверхность Тогда такое пространство-время не может быть полным относительно световых геодезических. Иными словами, в таком пространстве найдется по крайней мере один световой луч, который нельзя продолжить и который обрывается при конечном значении аффинного параметра. А значит, имеется сингулярность согласно данному выше определению.

Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Рассматривается множество точек, которые соединимы с причинной кривой, направленной в прошлое (рис. 63). Локальный анализ показывает, что. там, где граница этого множества несингулярна, она светоподобна и образована отрезками световых геодезических, ортогонально пересекающих в своих начальных точках. Если световые образующие имеют конечные точки, то эти точки совпадают с особенностями (каустиками или пересечениями). Далее, используя слабое энергетическое условие и сходимость образующих на поверхности можно доказать, что каждый из световых лучей, испущенных ортогонально обязательно выходит на,каустику, причем это происходит при значении аффинного параметра, не превосходящем где максимальное значение на 5 для обоих семейств выходящих лучей. (Существование гарантируется гладкостью и компактностью поверхности Отсюда следует, что граница компактна, поскольку она образована компактной системой конечных замкнутых отрезков. Можно доказать, что является трехмерным многообразием без края. Заметим, что при доказательстве компактности существенно использовалось предположение, что пространство-время является полным относительно световых геодезических, так что не происходит обрыва образующих до выхода на каустику или точку пересечения.

Следующий этап доказательства состоит в установлении противоречия компактности и некомпактности поверхности Коши 2,, после чего становится очевидном, что сделанное предположение о полноте пространства-времени несовместно с остальными условиями теоремы.

Искомое противоречие устанавливается следующим образом. Можно показать, что в пространстве-времени с поверхностью Коши существует конгруэнция времениподобных кривых. Поскольку через каждую точку пространства проходит одна и только одна кривая конгруэнции и времени-подобная кривая не может пересечь световую поверхность более одного раза, то с помощью этой конгруэнции можно установить взаимно однозначное непрерывное соответствие между и некоторым замкнутым подмножеством 2 поверхности 2. 2 не может совпасть с 2, поскольку, по предположению, 2 некомпактна. Следовательно, 2 имеет границу в 2, но это противоречит тому, что многообразие без края. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы Пенроуза о сингулярности.

Следует подчеркнуть, что условие некомпактности поверхности Коши использовалось лишь при доказательстве того, что 2 не совпадает с 2. Вместо этого можно было бы потребовать, что хотя бы одна времениподобная линия из конгруэнции не пересекала бы

Мы приведем здесь формулировку еще одной теоремы о сингулярностях (которая в определенном смысле является самой сильной из набора теорем такого рода), отсылая читателя, интересующегося точными формулировками, к работам Пенроуза (1968,1979), Хокинга, Эллиса (1973), Мизнера, Торна, Уилера Уолда (1984), Типлера и др. (1980).

Теорема Хокинга-Пенроуза [Хокинг, Пенроуз (1970)]. Пространство-время с необходимостью содержит неполные времениподобные или световые геодезические, которые невозможно продолжить, если выполнены следующие условия: 1) в пространстве-времени отсутствуют замкнутые времениподобные кривые; 2) для произвольного единичного времени-подобного вектора выполняется неравенство для каждой времениподобной или световой геодезической с касательным вектором существует точка, в которой существует ловушечная поверхность.

Все эти условия представляются достаточно разумными и общими. Требование 1 отвечает нашему обычному представлению о причинности. Условие 2 означает, что в любой физической системе отсчета плотность энергии 6 неотрицательна и Требование 3 эквивалентно тому, что рассматривается пространство-время общего вида, не обладающее какими-либо специальными симметриями. Условие 4, как уже отмечалось, тесным образом связано с существованием черной дыры. Теорема Пенроуза—Хокинга гарантирует возникновение сингулярности и в том случае, когда ловушечная поверхность возникает, например, в замкнутой Вселенной, где некомпактная поверхность Коши отсутствует, и поэтому теорема Пенроуза неприменима.