§ 7.1. Уравнения Максвелла

Мы будем рассматривать электромагнитные поля на фоне заданной метрики, т. е. будем считать эти поля недостаточно сильными, чтобы обратно влиять на метрику. Обычно в астрофизике это условие выполняется

Уравнения электродинамики, записанные в четырехмерном виде, использующие тензор (см. Приложение), мало что говорят нашей интуиции, и применение их для решения конкретных, сколько-нибудь сложных задач физики крайне затруднительно. Торн и Макдональд (1982) [см. также Макдональд, Торн (1982)] переписали эти уравнения электродинамики, используя -расщепление для внешнего пространства-времени вращающейся черной дыры (см. § 4.2). В их формализме используются привычные понятия - напряженность поля, плотность заряда, плотность электрического тока и т.д., «абсолютное” пространство и единое «время”. Уравнения электродинамики записаны в виде, аналогичном тому, который они имеют в плоском пространстве-времени в лоренцевой системе отсчета. Это позволяет не только применять хорошо разработанные методы решения электродинамических задач, но, что, пожалуй, еще важнее, «работать” привычным понятиям, используя нашу интуицию, основанную на практике решения задач электродинамики. Кроме того, в цитированных работах используется так называемая «мембранная” трактовка черной дыры. Суть ее заключается в том, что с точки зрения внешнего наблюдателя (не падающего в черную дыру) границу черной дыры во многих случаях можно трактовать как тонкую мембрану, наделенную особыми электромагнитными, термодинамическими и механическими свойствами. Несколько подробнее мы остановимся на такой трактовке в § 7.3 [см. по этому поводу Торн (1986), Прайс, Торн (1986)]. Подчеркнем, что никакой «мембраны” в действительности нет, этим понятием надо пользоваться крайне осторожно и все время помнить, что оно является только условным и удобным для решения некоторых задач. Перечисленные методы позволяют относительно просто применять электродинамику черных дыр в астрофизике, даже для астрофизиков, не являющихся специалистами в релятивистской теории. Обзор этих вопросов см. Торн и др. (1986).

В данном параграфе мы излагаем результаты цитированных выше работ Торна и Макдональда. Все физические величины, о которых пойдет речь, являются трехмерными векторами (или тензорами), которые мы будем характеризовать их положением в «абсолютном” трехмерном пространстве (вне черной дыры) и в абсолютном едином «времени” (см. § 4.2). Это те величины, которые измеряют с помощью обычных приборов локально невращающиеся наблюдатели (см. § 4.3).

Введем следующие обозначения для электродинамических физических величин, измеряемых локально невращающимися наблюдателями: напряженность электрического поля, В — напряженность магнитного поля, плотность электрического заряда, плотность электрического тока.

Уравнения Максвелла записываются в следующем виде

Здесь а [см. (4.3.13)]; - вектор, направленный вдоль координатных линий и имеющий длину в (это вектор Киллинга, отражающий осевую симметрию пространства-времени; вдали от черной дыры он равен производная Ли от (или В) вдоль вектора

описывающая изменение вектора по отношению к полю вектора (эта производная равна нулю, когда при смещении на начало и конец вектора «приклеены” к векторам — угловая скорость обращения (по времени локально невращающихся наблюдателей [см. (4.3.10)]. Точка означает дифференцирование по оператор набла в искривленном «абсолютном” пространстве.

Уравнения (7.1.1) — (7.1.2) имеют обычный вид, в то время как уравнения несколько отличаются от привычных. Отличия заключаются в следующем. Появилась функция а — из-за того, что физическое время течет по-разному в разных точках пространства, а уравнения написаны в терминах глобального «времени” t (напомним, что ускорение свободного падения в системе отсчета локально невращающихся наблюдателей связано с а соотношением Далее, выражения в квадратных скобках (7.1.3) и (7.1.4) есть производные (по времени) «типа Ли» для совокупности локально невращающихся наблюдателей, которые движутся в абсолютном пространстве и для которых сот. Таким образом, эти выражения соответствуют полным производным по времени от соответственно с учетом движения локально невращающихся наблюдателей.

Уравнения электродинамики становятся особенно наглядными и удобными для анализа конкретных задач, когда они записаны в интегральной форме [см., например, Пикельнер (1961)]. Мы приведем здесь одно из таких интегральных выражений (оно потребуется в дальнейшем) для

внешнего пространства черной дыры: это — закон Фарадея

Здесь вектор элемента поверхности, равный по длине его площади; двумерная поверхность, не пересекающая горизонт и ограниченная кривой элемент физическая скорость или относительно локально невращающихся наблюдателей.