ПРИЛОЖЕНИЕ

В настоящем Приложении собраны важнейшие формулы римановой геометрии и теории относительности, используемые в основном тексте книги. Поскольку вывод этих формул и необходимые разъяснения можно найти в существующих учебниках и монографиях [см., например, Ландау, Лифшиц (1973), Мизнер, Торн. Уилер (1973), Хокинг, Эллис (1973), Крамер и др. (1980), Владимиров (1982)], мы ограничиваемся здесь простым перечислением основных соотношений и краткими комментариями к ним.

Индексы, греческие пробегают значения 0, 1, 2, 3; латинские значения 1, 2,3.

Симметризация и ангисимметризация тензора

если перестановка четная, и в противном случае.

Метрика пространства-времени имеет сигнатуру —

Гладкая кривая называется пространственно-, времени- или светоподобной в точке если касательный к ней вектор в этой точке удовлетворяет условию мммд мммд или соответственно. Кривая называется причинной, если в каждой ее точке мммм

Причинное будущее (прошлое множества это множество точек, для каждой из которых найдется проходящая через нее причинная кривая, направленная в прошлое (в будущее) и пересекающая

Область Коши будущего (прошлого множества это множество точек, для каждой из которых любая проходящая через нее причинная кривая, направленная в прошлое (в будущее), пересекает

Полная поверхность Коши — это невремениподобная гиперповерхность, которую каждая причинная кривая пересекает точно один раз.

Тензор кривизны Римана:

где

Тензор Риччи:

Тензор Вейля:

Тензор Эйнштейна -Ковариантная производная:

Другое обозначение обычной четырехмерной ковариантной производной: Ковариантные производные по отношению к трехмерной метрике обозначаются Для двумерных ковариантных производных используется обозначение

Коммутатор ковариантных производных.

Производная Ли тензорного поля вдоль векторного поля определяется соотношением

Производная Ферми - Уолкера тензорного поля вдоль векторного поля :

где

Параллельный перенос. Тензорное поле параллельно переносится вдоль векторного поля если выполнено условие

Говорят, что это поле параллельно переносится вдоль в смысле Ли, если

и в смысле Ферми - Уолкера, если

Геодезическая определяется как решение уравнения

где произвольная функция. За счет изменения параметризации эту функцию можно обратить в нуль. Соответствующий параметр называют аффинным. Аффинный параметр определен с точностью до линейного преобразования. Для времени подобных и пространственноподобных геодезических аффинный параметр пропорционален собственной длине вдоль кривой.

Уравнение девиации геодезических. Пусть им ( вектор, соединяющий пару близких геодезических при одинаковом значении аффинных параметров X вдоль них. Тогда имеет место уравнение

где

Векторное поле Киллинга в пространстве с метрикой определяется соотношением

Векторное поле Киллинга удовлетворяет уравнению

Если и два векторных поля Киллинга, то также векторное поле Киллинга.

Если времени подобно -скорость движения вдоль ускорение

Тензорное поле Киллинга - это симметричное тензорное поле удовлетворяющее условию

Конформные преобразования определяются как преобразования метрики вида

Тензорное поле является полем веса если при преобразовании оно преобразуется по закону

Если ковариантная производная в метрике то

где

При конформных преобразованиях тензор Вейля не изменяется, а кривизны преобразуются следующим образом:

Элемент объема:

Элемент гиперповерхности , определяемой уравнениями есть

где антисимметричный тензор:

полностью антисимметричный символ

Элемент двумерной поверхности определяемой уравнениями

Интегрирование в римановом пространстве. Пусть скалярное, — векторное и антисимметричное тензорное поля. Тогда определены интегралы

Теорема Стоксу:

где границы 4-объема V и гиперповерхности .

Индуцированная метрика и внешняя кривизна гиперповерхности.

Пусть уравнение гиперповерхности единичная нормаль к ней тройка взаимно ортогональных единичных векторов, касательных к . Тогда

где компоненты в базисе

Уравнения Гаусса Кодацци:

где ковариантная производная в метрике тензор кривизны трехмерного пространства с этой метрикой.

-разбиение тензора Эйнштейна:

где

Действие Эйнштейна:

Уравнения Эйнштейна:

где тёнзор энергии-импульса:

действие материи. Для ковариантного действия

Энергетические условия. Пусть — произвольное времениподобное векторное поле.

Слабое энергетическое условие означает выполнение следующих неравенств для заданного

Условие энергодоминантности: непространственноподобный вектор.

Сильное энергетическое условие - выполнение неравенств

Электромагнитное поле А

Действие:

Уравнения Максвелла:

Тензор энергии-импульса:

Скалярное поле

Действие:

где - масса поля, свободный параметр. При теория конформно-инвариантна.

Уравнения поля:

Тензор энергии-импульса:

Законы сохранения. Пусть векторное и тензорное поля Киллинга. Если симметричный тензор, удовлетворяющий условию (тензор энергии-импульса), то величина

не зависит от выбора полной поверхности Коши 2.

Если импульс частицы то величины

постоянны вдоль траектории частицы.

Конгруэнция кривых — трехпараметрическое семейство кривых - параметр вдоль кривой, параметр, «нумерующий” кривую) обладающее тем свойством, что через каждую точку проходит одна и только одна кривая семейства.

Если выбраны конкретные на конгруэнции, то мы получаем систему координат. Конгруэнция времениподобных кривых называется системой отсчета.

Дифференциальные инварианты конгруэнции времениподобных кривых. Пусть X — аффинный параметр и векторное поле

связанное с конгруэнцией Тогда допускает однозначное представление вида

где проекционный тензор, проектирующий векторы на 3-пространство,ортогональное - ускорение, - «расхождение” мировых линий конгруэнции, тензор вращения и тензор сдвига:

Уравнение Райчаудхури:

где

Выберем в качестве параметра X собственное время вдоль каждой кривой системы отсчета. Тогда является 4-скоростью. В этом случае обычно записывают в виде [см. Владимиров (1982]

Непосредственный физический смысл имеют значения с пространственными индексами:

тензор угловой скорости вращения системы отсчета

тензор скорости деформации системы отсчета

где вектор поля гравитационно-инерциальных сил, действующих в системе отсчета (т.е. вектор Ускорения свободного падения пробной покоящейся частицы)

С помощью вычисляется вектор угловой скорости вращения системы

где абсолютно антисимметричныи объект,

Скаляр есть угловая скорость поворота за единицу собственного времени

есть абсолютная величина ускорения свободного падения покоящегося тела в выбранной системе отсчета.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

(см. скан)

(см. скан)