ГЛАВА 10. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ЧЕРНЫХ ДЫРАХ

§ 10.1. Квазиклассическое приближение. Перенормированный тензор энергии-импульса

Квантовое излучение изолированной черной дыры приводит к уменьшению ее массы, а следовательно, и площади. Чтобы объяснить это «нарушение” теоремы Хокинга, приходится сделать вывод о том, что поток частиц из черной дыры на бесконечность, уносящих положительную энергию, сопровождается потоком через горизонт событий отрицательной энергии внутрь черной дыры. В классической теории при выполнении естественных физических предположений (условий энергодоминантности) это было бы невозможно. В квантовой теории, поскольку действие внешнего поля на вакуум может приводить как к увеличению, так и к уменьшению локальной плотности энергии, возможно появление в части пространства отрицательной плотности энергии и (или) отрицательного давления. Именно это явление, связанное с поляризацией вакуума в сильном гравитационном поле, должно иметь место вблизи черной дыры.

Для описания процесса испарения черной дыры с массой, много большей планковской, можно использовать квазиклассическое приближение. Считая, что флуктуации гравитационного поля малы, опишем его с помощью классической метрики

удовлетворяющей модифицированным уравнениям Эйнштейна

в правой части которых стоит среднее от тензора энергии-импульса рассматриваемых квантованных полей в выбранном состоянии. В области пространства-времени, где характерный радиус кривизны значительно превосходит планковскую длину при вычислении можно использовать разложение по малому параметру и ограничиться членами до первого порядка по включительно (квазиклассика). Первый член порядка совпадает с выражением для тензора энергии-импульса классического поля, в то время как член порядка содержащий множитель дает основной (в рассматриваемом приближении вклад квантовых эффектов. Этот вклад описывает изменение плотности энергии-импульса в результате действия гравитационного поля на состояние вакуумных виртуальных пар. Следующие по члены описывают добавки, возникающие при учете дополнительного взаимодействия частиц виртуальной пары, связанного с испусканием и последующим поглощением ими

квантов поля. В линейном по («однопетлевом») приближении виртуальные пары различных полей можно рассматривать как невзаимодействующие. В соответствии с этим вклады всех полей — в линейном по 6 приближении - складываются аддитивно, и их можно изучать независимо.

Основная проблема при изучении состоит в том, что эта величина расходится. Более точно, всякие расчеты, при которых возникает потребность вычислить среднее значение от величины, содержащей произведение двух и более операторов поля в совпадающих точках имеет как раз такой вид), приводят к появлению бесконечностей. Подобные расходимости, возникающие уже в плоском пространстве-времени, связаны с вакуумными нулевыми флуктуациями. Методы выделения конечной, имеющей физический смысл части известные как процедуры перенормировки, широко обсуждались в литературе в связи с развитием общей квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени и с ее конкретными приложениями в космологии и физике черных дыр. Подробное обсуждение этих вопросов можно найти в работах Де Витта (1965, 1975), Гриба и др. (1980, Биррела, Девиса (1982), Кристенсена (1976, 1978). Поэтому мы лишь кратко остановимся на процедуре перенормировки а более подробно обсудим те особенности эффекта поляризации вакуума, которые связаны со спецификой черных дыр (в частности, вопрос о выборе вакуумного состояния), и приведем основные результаты вычислений

К настоящему времени предложен целый ряд методов перенормировки (размерная регуляризация, метод -функции, регуляризация Паули - Вилларса, -волновая регуляризация, адиабатическая регуляризация, метод раздвижения точек). Важно, однако, что окончательные результаты по существу не зависят от конкретного метода перенормировки. Дело в том, что, как показал Уолд (1977, 1978а, b), всякие методы перенормировки сохраняющие общую ковариантность

2) удовлетворяющие естественным требованиям причинности, изменяющие значения для тех состояний для которых это значение конечно, и 4) согласующиеся с обычной процедурой нормального упорядочения в плоском пространстве-времени, приводят к выражениям для которые могут отличаться друг от друга лишь на локальный сохраняющийся тензор, построенный из тензора кривизны в рассматриваемой точке и его ковариантных производных.

Поскольку для безмассовых полей отсутствует связанный с полем параметр размерности длины, то в однопетлевом приближении возможный произвол должен описываться выражением, являющимся суммой членов, квадратичных по кривизне, и членов, линейных по ее вторым производным. Поскольку сконструировать подобный симметричный

сохраняющийся тензор второго ранга только из тензора Вейля невозможно, то для безмассовых полей на фоне метрики, удовлетворяющей вакуумным уравнениям Эйнштейна указанный выше произвол в определении в однопетлевом приближении отсутствует.

Для классического конформно-инвариантного поля Важным отличительным свойством является то, что след этой величины для конформно-инвариантно поля уже не обращается в нуль (это явление известно как конформная аномалия). Величина не зависит от выбора состояния, по которому производится усреднение Для скалярного конформно-инвариантного спинорного двухкомпонентного безмассовых полей и для электромагнитного поля величина записывается в виде

где

Для практических вычислений в гравитационном поле черных дыр наиболее часто используют метод раздвижения точек. Он состоит в следующем. Поскольку билинейно зависит от поля, можно формально ввести обобщение величины на случай, когда аргументы у каждого из полей отличны друг от друга («раздвинуть точки”). В классической теории возникает как предел соответствующего выражения при В квантовой теории при вычислении среднего значения оператора в рассматриваемом состоянии простой переход к пределу невозможен из-за возникновения расходимости. Поэтому до перехода к пределу «подправляют” (перенормируют) величину вычитая из нее некоторое стандартное выражение Для каждого из полей вычисление достаточно провести

один раз. Соответствующие выражения для в случае скалярного, спинорного безмассовых полей и электромагнитного поля получены Кристенсеном (1978).

При вычислении матричных элементов тензора энергии-импульса поля для выбранных состояний удобно использовать функцию Грина

Здесь символ обозначает операцию -произведения

где ступенчатая функция, равная 1, если х лежит в будущем по отношению к и равная в противном случае. Нетрудно убедиться, используя коммутационные соотношения (9.2.5), что функция Грина (10.1.5) для поля описываемого уравнением (9.2.2), удовлетворяет следующему уравнению:

где С этой функцией Грина связана так называемая функция Адамара

Значение тензора энергии-импульса в раздвинутых точках записывается в виде

где дифференциальный оператор по переменным такой, что для классического поля величина совпадает с Явный вид операторов для полей различных спинов приведен в работе Кристенсена (1978).

Часто наряду рассматривают величины вида описывающие флуктуации поля В случае скалярного поля у величина в поле черных дыр исследовалась в связи с вопросом о возможности фазовых переходов вблизи них. Эти переходы состоят в появлении [Хокинг (1981), Фосетт, Уайтинг (1982), Мосс (1984)]. В гравитационном поле, описываемом вакуумными уравнениями Эйнштейна, для перенормированного значения имеет место следующее простое выражение:

где интервал геодезического расстояния между а стремление происходит вдоль пространственноподобного направления.

Таким образом, задача вычисления величин несущих информацию о плотности энергии-импульса (связанной с поляризацией вакуума) и вакуумных флуктуациях, сводится к выполнению набора стандартных операций над функцией Грина (10.1.5). Тем самым решение задачи о поляризации вакуума в черных дырах сводится к получению решения уравнения (10.1.7) в заданной метрике, описывающей пространство-время черной дыры. При этом произволу в выборе состояния, по которому производится усреднение в (10.1.5), отвечает произвол в выборе граничных условий, однозначно фиксирующих ту или иную функцию Грина.