§ 9.4. Матрица плотности и производящий функционал для квантовых эффектов в черных дырах

Теперь после изложения общей формальной схемы мы обратимся непосредственно к вопросу о ее применении для описания квантовых эффектов в черных дырах. Для простоты мы ограничимся рассмотрением теории безмассового нейтрального скалярного поля в пространстве-времени вращающейся черной дыры. Случай безмассовых полей является наиболее важным, поскольку, с одной стороны, именно безмассовые поля дают основной вклад в квантовое излучение черных дыр, а с другой стороны, это рассмотрение дает хорошее приближение при описании рождения массивных частиц в случае, когда хокинговская температура черной дыры много больше энергии покоя этих частиц, и для их описания можно пользоваться ультрарелятивистским приближением. К обсуждению влияния спина, массы и заряда частиц на процессы их рождения в черных дырах мы вернемся позднее.

На рис. 75 изображена диаграмма Пенроуза для пространства-времени вращающейся черной дыры, возникающей в результате коллапса массивного тела. Будем считать, что координата опережающего конформного времени Бонди и выбрана таким образом, что световой луч, посланный с в момент достигает точки точно в момент возникновения горизонта (см. рис. 75). Поскольку после образования черной дыры она довольно быстро становится практически стационарной, мы будем считать, что волновые пакеты, испущенные с начиная с

Рис. 75. Диаграмма Пенроуза пространства-времени вращающейся черной дыры, возникающей в результате коллапса массивного тела

которого момента опережающего времени движутся все время в метрике, совпадающей с метрикой Керра. Для построения базисных волновых функций мы используем разложение решений волнового уравнения

в метрике Керра по сфероидальным волновым функциям

где определены как ограниченные на интервале [-1, 1] собственные функции оператора

удовлетворяющие условиям нормировки

Обозначим через решение уравнения (9.4.1), обладающее тем свойством, что его образ на имеет вид

где координата опережающего конформного времени Бонди (см. § 5.1). Для дальнейшего оказывается удобным рассматривать в качестве базисных не сами функции а построенные из Них решения типа волновых пакетов. С этой целью зафиксируем действительное число и обозначим

Условимся далее коллективный индекс обозначать кратко через а. Волновые пакеты на содержат частоты в интервале от до имеют максимум вблизи значения опережающего времени и обладают шириной

Заметим, что для рассматриваемой теории безмассового поля поверхность в пространстве Пенроуза играет роль полной поверхности Коши и каноническая для пары решений уравнения (9.4.1):

допускает следующую запись:

где образы полей на

Нетрудно убедиться, используя (9.4.2), (9.4.4) - (9.4.6) и (9.4.8), что волновые пакеты удовлетворяют условиям нормировки

и совместно с образуют полную систему на Здесь и далее мы используем обозначение

Указанный набор функций можно выбрать в качестве ин-базиса. Отвечающее этому выбору ин-вакуумное состояние выделяется условием отсутствия потока энергии, падающего с на черную дыру.

Заменив в выражении (9.4.5) опережающее конформное время Бонди и на запаздывающее и, получим функции на которые обозначим Их этих функций с помощью преобразования, аналогичного (9.4.6), построим на волновые пакеты . Образование горизонта событий приводит к тому, что задание образа функции на еще не определяет решение волнового уравнения (9.4.1). Дополнительные условия, необходимые для однозначного определения решения, могут быть заданы в виде значений решения на горизонте Определим волновой пакет как решение (9.4.1), обращающееся в нуль на горизонте событий и обладающее образом на У, Очевидно, что эти пакеты удовлетворяют условиям нормировки, аналогичным (9.4.9). Если дополнить решения до полной системы с помощью произвольных функций образы которых обращаются в нуль на и образуют полную нормированную систему функций на то систему можно выбрать как аут-базис. В качестве удобно выбрать решения, которые определяются следующим образом. Пусть решения, обращающиеся в нуль на и принимающие на значения в координатах (4.4.1)

и пусть волновые пакеты (9.4.6), построенные для этих решений. Определим с помощью соотношения

Можно убедиться, что функции удовлетворяют следующим условиям нормировки:

В пространстве-времени вечной черной дыры, описываемом метрикой Керра, волновое уравнение (9.4.1) допускает полное разделение переменных, и поэтому в этом пространстве имеется следующая связь между введенными волновыми функциями:

Коэффициенты будем называть коэффициентами отражения и поглощения волны черной дырой. Для классической волны величина равна отношению энергии рассеянной волны к энергии падающей. Это отношение становится больше единицы для тех волн, для которых выполнено условие суперрадиации. Если выбрать параметр при построении пакетов достаточно малым, гладко зависят от частоты то аналогичное разложение можно записать и для волновых пакетов:

Заметим теперь, что волновые пакеты с достаточно большим значением в пространстве-времени черной дыры, возникающей в результате коллапса, движутся в метрике, практически не отличающейся от метрики Керра (см. рис. 75). Поэтому для них также выполняется соотношение (9.4.15). Из условий нормировки функций и вытекает следующее соотношение:

Из него следует, в частности, что для тех мод, для которых выполнено условие суперрадиации

Следующий этап состоит в нахождении коэффициентов преобразования Боголюбова, связывающих построенные и аут-базисы. Эта задача существенно упрощается, если воспользоваться следующим приемом, введенным Уолдом (1975). Далее, не оговаривая этого особо, мы будем рассматривать волновые пакеты, индекс а для которых удовлетворяет условию так что для пакетов с этими индексами выполнено соотношение (9.4.15). Определим волновые пакеты потребовав, чтобы они были ортогональны и а:

й допускали разложение

Через обозначим волновой пакет, связанный с соотношением

и нормированный условием

Условия ортогональности и нормировки приводят к выполнению наряду с (9.4.16) также следующих соотношений:

Из свойств симметрии метрики Керра по отношению к преобразованию следует равенство [см., например,

Используя соотношения (9.4.15), (9.4.16), (9.4.18), (9.4.21) и (9.4.22), можно получить

Это соотношение показывает, что если проследить за эволюцией в прошлое пакета , то часть его рассеиваясь на стационарном поле черной дыры, выходит на 3 при а другая проходит через коллапсирующее тело в момент времени, предшествующий возникновению горизонта событий, и выходит на при Хокинг (1975) показал, что для описания распространения этой второй части можно использовать приближение геометрической оптики и что в этом приближении волновой пакет на получается с помощью преобразования (9.4.6) из функции

Здесь ступенчатая функция, отличная от нуля и равная 1 при

Для получения этого результата достаточно рассмотреть поведение поверхности постоянной фазы для волны В приближении геометрической оптики эта поверхность — световая. Вне коллапсирующего тела, в области, где геометрия пространства-времени хорошо аппроксимируется метрикой Керра, эта поверхность описывается уравнением где запаздывающая координата Керра, а ее образующие — световые геодезические в (см. § 4.4). При продолжении в прошлое эти геодезические проходят через коллапсирующее вещество и выходят на в точке с координатами Можно убедиться [Хокинг (1975)], что при имеют место следующие соотношения:

связывающие Если учесть, что на координаты совпадают то приходим к выражению (9.4.24) для Указанное приближение выполняется тем лучше, чем в более поздние моменты времени и выходит на пакет . Мы будем считать, что число выбрано достаточно большим и описанное приближение выполняется с необходимой степенью точности.

Введем еще одно семейство решений определив их с помощью задания образов на

Покажем, что линейные комбинации и функций

где

обладают положительно-частотными по отношению к опережающему времени и образами на

Для доказательства достаточно заметить, что функции и получаются с помощью преобразования (9.4.6) из решений, которые на содержат следующую зависимость от и

С другой стороны,

В этом нетрудно убедиться, осуществив деформацию контура интегрирования в правой части (9.4.29) в нижней полуплоскости. Поэтому при имеем

откуда и вытекает условие положительной частотности функций и .

Выберем в качестве ин-базисных положительно-частотных решений наборы функций

при больших выбранного выше значения дополнив их произвольным образом положительно-частотными на функциями до полного ортонор-мированного базиса. Аналогичным образом аут-базис образуем путем дополнения наборов функций

до полной ортонормированной системы. Удобство описанного выбора

базисов, предложенного Уолдом (1975), состоит в том, что при этом выборе происходит факторизация матриц преобразования Боголюбова, и мы имеем

Матрицы преобразований связывающие наборы ин-базисных и аут-базисных функций, легко определяются с помощью соотношений (9.4.15), (9.4.18) и (9.4.26) и имеют вид

Таким образом, с помощью описанного способа перехода к базисам Уолда нам удалось получить явное выражение для тех коэффициентов преобразований Боголюбова, которые определяют связь и аут-базисных функций при больших значениях Используя общие формулы (9.2.29) и (9.2.30), можно получить выражение для оператора -матрицы,

Следующим этапом является вычисление матрицы плотности, описывающей излучение черной дыры. Обозначим через

операторы уничтожения и рождения частиц в состоянии . Пусть нас интересует вычисление средних вида Используя выражения (9.2.29), (9.2.30) для оператора -матрицы и представляя виде можно определить коэффициенты разложения (9.3.2) и вычислить искомую матрицу плотности.

В общем случае матрица плотности описывающая наблюдаемые на и возникающая при усреднении по состояниям зависит от деталей процесса образования черной дыры. Однако, если интересоваться значениями наблюдаемых на лишь в достаточно поздние моменты запаздывающего времени то детали оказываются несущественными и значения этих наблюдаемых зависят только от параметров образовавшейся стационарной черной дыры. В этом можно убедиться, если рассмотреть матрицу плотности получаемую из дополнительным усреднением по всем состояниям на кроме с Для получения явного выражения оказывается достаточным знания, вычисленных выше коэффициентов преобразований Боголюбова при Опуская детали

вычислений, которые можно найти в работах Фролова (1983а, 1986), приведем здесь лишь окончательный результат:

где означает операцию нормального упорядочения относительно операторов -Последнее равенство написано с учетом известного соотношения:

Для невращающихся черных дыр выражение (9.4.35) было получено Хокингом. Пусть состояние, когда имеется частиц в моде а. Тогда

Для невращающейся черной дыры

где Аналогичное выражение справедливо для и в случае ферми-частиц, с той лишь разницей, что в этом случае равно —1, а может принимать значения и 1 [Уолд (1975) Хокинг (1976b)]. Если пренебречь процессами рассеяния на гравитационном поле то полученное выражение переписывается в следующем виде:

где - свободный гамильтониан, описывающий вылетающие на О частицы:

а

- хокинговская температура черной дыры.

Выражение (9.4.35) для матрицы плотности позволяет вычислять средние значения наблюдаемых на

В квантовой теории поля и квантовой статистике хорошо известен и широко употребляется следующий прием, позволяющий существенно упростить вычисления выражений типа Выберем в качестве оператор

Заметим теперь, что если оператор в (9.4.39) задан в нормальной форме

то его можно записать в следующем виде:

где

Обозначим

тогда имеем

Иными словами, вместо того чтобы каждый раз заново вычислять достаточно провести вычисления этой величины один раз для и найти величину которая называется производящим функционалом. После этого задача вычисления сводится к дифференцированию

Можно посредством небольшой модификации описанного метода существенно расширить класс задач, решаемых с его помощью. Во-первых, оказывается удобным в качестве К выбрать следующее выражение:

Поскольку дифференцирование по приводит к появлению выражения то введение зависимости от позволяет легко вычислять средние от выражений, содержащих операторы числа частиц . Во-вторых, путем введения дополнительных переменных можно получить формулы, позволяющие вычислять средние от оператора не только в

вакуумном, но и в произвольном многочастичном начальном состоянии. С этой целью заметим, что

где

В частности,

где

Здесь операция нормального упорядочения относительно операторов

Определим производящий функционал соотношением

где

При очевидным образом совпадает с выражением (9.4.44).

Явное выражение для производящего функционала имеет следующий вид [Фролов (1983а, 1986)]:

где

Здесь

коэффициент отражения, входящий в соотношение (9.4.15), а определено равенством (9.4.27).

В заключение этого параграфа мы приведем два общих соотношения, устанавливающие связь производящего функционала с

основными, представляющими физический интерес величинами, характеризующими квантовые эффекты в черных дырах.

Введем следующие обозначения:

1) Пусть функция операторов - оператор, заданный в нормальной форме вида (9.4.41). Тогда

2) Пусть вероятность излучения черной дырой на квантов в моде квантов в моде при условии, что на имелось квантов в моде квантов в моде Тогда справедливы равенства

Таким образом, вычисление средних значений наблюдаемых, корреляционных функций и распределений вероятностей для квантовых процессов в поле черной дыры эффективно сводится к выполнению операций дифференцирования производящего функционала определяемого соотношениями (9.4.54) - (9.4.56). Подчеркнем, что производящий функционал полностью определен, если наряду с поверхностной гравитацией к и угловой скоростью черной дыры известны также коэффициенты отражения и поглощения Та волновых пакетов черной дырой. При зтом, по описанным выше причинам, достаточно значения этих величин для волновых пакетов , движущихся в стационарной метрике Керра образовавшейся черной дыры. Нахождение коэффициентов и Т требует решения одномерной задачи рассеяния. Запишем решение уравнения (9.4.1) в метрике Керра в виде

где удовлетворяет радиальному уравнению

и следующим граничным условиям:

Здесь

собственное значение, отвечающее функции (9.4.3).

Задача нахождения также ее аналог для полей с другими характеристиками (спином, отличным от нуля, массой и зарядом) подробно исследовались в многочисленных работах. Ее подробное обсуждение и явные выражения для коэффициентов отражения и поглощения, отвечающие этим случаям, см. Чандрасекар (1983), где приведены также ссылки на оригинальные работы.