§ 10.3. ... в пространстве-времени черной дыры

Для вычисления перенормированного значения тензора энергии — импульса требуется знание функции Грина при значениях ее аргументов близких друг к другу. Это, однако, еще ни в коей мере не означает, что граничные условия, налагаемые на функцию Грина вдали от интересующей нас точки, не влияют на поведение в пределе совпадающих точек Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что функция Грина определяется уравнением с точностью до решения однородного уравнения, которое однозначно фиксируется как раз граничными условиями.

В теории массивного (с массой ) поля, когда характерный радиус кривизны пространства-времени значительно превосходит комптоновскую длину можно использовать разложение по малому параметру чтобы получить равномерное приближение для функции Грина. В случае безмассового поля такой параметр отсутствует. Поскольку волновые уравнения для безмассовых полей в метрике Керра допускают разделение переменных, то естественный метод изучения функций Грина для таких полей состоит в представлении их в виде разложений по собственным модам [Канделас (1980), Канделас и др. (1981) ].

Приведем в качестве примера представление для функций Адамара скалярного безмассового поля в метрике вращающейся черной дыры. Удобно в качестве базисных решений уравнения пространстве-времени вечной черной дыры выбрать систему решений удовлетворяющих следующим граничным условиям. Функции обращаются в нуль на а на имеют образ описываемый выражением Образ равен нулю, а на эти функции принимают значения

В случае, если черная дыра окружена зеркальной оболочкой, уравнение которой в качестве соответствующих базисных функций выбирают решения которые на имеют значения, совпадающие с [формула (10.3.1)], а на оболочке обращаются в нуль: Если коллективный индекс обозначить через и ввести обозначения

то функции Адамара , отвечающие различным выборам «вакуумных” состояний, записываются следующим образом:

Аналогичные представления для функций Грина для электромагнитного поля и гравитационных возмущений приведены в работе Канделаса и др. (1981) ; относительно функций Грина скалярного поля см. также Канделас (1980) , Фролов (1986) .

Заметам, что поскольку расходимости, удаляемые в процессе перенормировки, имеют универсальный вид, значение разностей любой пары функций (10.3.3) в пределе совпадающих точек остается конечным. Для этих конечных разностей имеем, в частности,

где температура черной дыры.

Представления вида (10.3.3) для функций Грина позволяют проанализировать поведение вблизи и В частности, можно показать, что значения этих величин вблизи при усреднении по вакууму Бульвара расходятся. Их асимптотики вблизи шварцшильдовской черной дыры в координатах имеют вид [Канделас (1980), Канделас и др. (1981), Шьяма и др. (1981)]

Здесь и далее обозначает диагональную матрицу с элементами, равными на диагонали, число поляризаций поля спина

Причина подобного сингулярного поведения величин, характеризующих поляризацию вакуума в этом состоянии, состоит в том, что само состояние отвечает, как это отмечалось выше, физически нереализуемой ситуации.

К сожалению, просуммировать ряды, отвечающие и получаемые после перенормировки из соответствующих рядов вида (10.3.3) для функций Грина, и найти явные конечные выражения для этих величин в общем случае не удается. Поэтому для получения результатов либо используют машинные методы, либо развивают методы приближенного суммирования рядов. В выполненных к настоящему времени работах ограничивались рассмотрением случая, когда черная дыра не вращается.

Прежде чем перейти к изложению результатов этих работ, отметим, что свойства симметрии связанные с симметриями фонового

шварцшильдовского гравитационного поля, и закон сохранения которому эта величина удовлетворяет, резко ограничивают число ее независимых компонент. А именно, как показали Кристенсен и Фуллинг (1977), всякий сохраняющийся пространстве-времени невращающейся черной дыры допускает следующее представление:

где в координатах имеют вид

а

Каждый из тензоров удовлетворяет закону сохранения Только имеет ненулевой след, только имеет бесследовую часть которой -компонента отлична от нуля, только имеет недиагональные компоненты, описывающие потоки, и только не регулярен на

Иными словами, произвольный тензор энергии-импульса, удовлетворяющий закону сохранения и условиям симметрии, присущим метрике

Рис. 81. Значения в зависимости от : кривая кривая

Шварцшильда, однозначно характеризуется заданием двух функций (одна из которых совпадает с его следом) и двух констант значение одной из которых совпадает с интенсивностью излучения черной дыры на бесконечности а значение второй равно нулю если тензор энергии-импульса регулярен на

Интенсивность излучения отлична от нуля лишь для вакуума Унру; при этом для безмассового скалярного двухкомпонентного нейтринного электромагнитного и гравитационного полей коэффициенты соответственно равны [Пэйдж (1982), Эльстер

Коэффициент обращается в нуль для вакуума Унру и для вакуума Хартля-Хокинга.

Выполненные к настоящему времени численные расчеты относятся к случаю скалярного безмассового поля в пространстве-времени шварцшильдовской черной дыры. Результаты вычислений выполненных Фосеттом и Уайтингом (1982), приведены на рис. 81. Значения компонент были вычислены Ховардом, Канделасом (1984) и Ховардом (1984), которые обнаружили и исправили ошибку в предыдущих вычислениях Фосетта (1983). Значения отличных от нуля компонент и вычисленные Эльстером значения приведены на рис. 82.

Основная особенность тензора конечность его компонент на горизонте событий. В частности, наблюдатель, покоящийся в точке вблизи горизонта событий, зарегистрирует плотность энергии — и это значение остается конечным при С другой стороны, измеренная им температура окажется равной Подобное измерение температуры можно, например, «осуществить”, взяв в качестве термометра двухуровневую систему, переходы между уровнями в которой связны с поглощением и испусканием квантов рассматриваемого поля (фотонов). По прошествии достаточно длительного времени вероятность нахождения системы на верхнем уровне будет в раз меньше, чем на нижнем разница энергий между уровнями). Аналогичным образом ведут себя другие детекторы малых размеров [Унру (1976b)]. Нетрудно убедиться, что вблизи где а — ускорение наблюдателя, и при

Рис. 82. Значения компонент в зависимости от На рисунках представлено поведение компонент тензора энергии-импульса. Компоненты кривые кривые II, а кривые III

Отметим, однако, что, как следует из приведенных на рис. 82 результатов, плотность энергии излучения в окрестности такой точки

Причина «нарушения” закона а 4 состоит в том, что он не справедлив вблизи границ, где параметры системы сильно изменяются на расстоянии порядка характерной длины волны излучения. В случае черной дыры именно такая ситуация имеет место вблизи ее поверхности (на расстоянии Тот факт, что величина (в отличие от конечна на горизонте, можно интерпретировать следующим образом: вклад поляризации вакуума, связанной с неоднородностью пространства-времени вблизи горизонта, в точности компенсирует ту расходимость, которая имела бы место для плотности энергии излучения, если выполнялся бы закон

Фосетт и Уайтинг (1982), анализируя результаты вычислений, обратили внимание на то, что значения величины на всем интервале до хорошо аппроксимируются простым выражением

где Исходя из этого, Пэйдж (1982) предложил метод приближенного вычисления Для получаемое в приближении Пэйджа значение совпадает с (10,3,12). Канделас, Ховард (1984), Ховард, Канделас (1984), Ховард (1984) показали, что вычисляемые в рамках приближения Пэйджа величины и весьма точно воспроизводят истинное поведение отличие от истинного значения не превышает 1%, для компонент это отклонение не превосходит

Исходными для построения приближения Пэйджа являются два положения:

1) Пусть имеются два конформных пространства и пусть в каждом из них производится вычисление перенормированных средних для состояний, получаемых друг из друга с помощью того же конформного преобразования. Тогда следующие комбинации, содержащие являются инвариантными (т.е. не зависят от того, в каком из конформных пространств они вычислены):

где

тензор Вейля - тензор Риччи скалярная кривизна, а коэффициенты связаны с коэффициентами входящими в выражение для конформных аномалий (10.1.3), соотношениями

2) Пусть метрика

является статическим решением вакуумных уравнений Эйнштейна векторное поле Киллинга). Тогда в пространстве с метрикой отсутствуют конформные аномалии (т.е. выражения в скобках в правой части (10.1.3), вычисленные в этом пространстве, тождественно обращаются в нуль).

Пэйдж предложил проведать вычисления сначала в пространстве используя для функции Грина в нем решение, полученное с помощью ВКБ-приближения, а затем, принимая во внимание инвариантность величин (10.3.13) и (10.3.14), вернуться в исходное физическое

пространство. При этом для скалярного безмассового поля в метрике Шварцшильда для величины получается выражение (10.3.12), а для следующее приближенное выражение:

где температура черной дыры. Поведение отличных от нуля компонент изображено на рис. 82 (штрих-пунктирная линия). Это приближенное выражение было использовано в работе Йорка (1985) для исследования обратного влияния поляризации вакуума на гравитационное поле черной дыры.

Метод Пэйджа можно использовать также для нахождения приближенных значений в вакууме Бульвара. Вычисления дают [Фролов, Зельников (1985а)]

Выражения (10.3.19) — (10.3.20) согласуются с асимптотиками вблизи горизонта событий и имеют правильную асимптотику на бесконечности. По-видимому, точность, с которой (10.3.19) и (10.3.20) воспроизводят точные значения того же порядка, - что и в случае хартль-хокинговского вакуума.

В работе Брауна и Оттевилла (1985) предложен несколько иной метод вычисления для конформно-инвариантных полей, который в случае скалярного поля приводит к тем же выражениям (10.3.12), что и приближении Пэйджа. Браун и Оттевилл обратили внимание на то, что конформные аномалии исчезают не только в пространствах с метрикой но и в более широком классе пространств, для которых метрики имеют вид Если потребовать, чтобы в пространстве состояние было выбрано так, что исчезают не только след но и остальные компоненты то после возвращения в исходное физическое пространство получается вполне определенное значение Браун и Оттевилл показали, что при полученное таким образом выражение совпадает а при правильно воспроизводит рамках этого подхода можно получить также аналогичные приближенные выражения для вкладов нейтринного и электромагнитного полей

Результаты Пэйджа и Брауна, Оттевилла, по-видимому, указывают на то, что основной вклад в вакуумный тензор энергии-импульса для конформно-инвариантных полей в поле черной дыры дают конформные

аномалии, и если учесть их, то возникающий тензор энергии-импульса достаточно хорошо воспроизводит точное значение

Как уже упоминалось выше, в ряде случаев, когда рассматриваемая точка лежит на горизонте событий, удается точно вычислить значения Этот замечательный факт связан с особыми геометрическими свойствами пространства-времени вблизи горизонта событий. Остановимся более подробно на этих свойствах.

Метрика Керра обладает симметриями относительно сдвигов по времени и вращений по Пусть соответствующие векторные поля Киллинга, их линейная комбинация, которая на горизонте является касательной к генераторам горизонта. Нетрудно убедиться, что обращается в нуль на оси симметрии на двумерной поверхности пересечения горизонтов и (поверхности бифуркации горизонтов). Антисимметричные тензоры невырожденные. Очевидно, что полюсные точки поверхности остаются неподвижными при сдвигах как по так и по у.

Если потребовать, чтобы в выбранном состоянии обладало теми же свойствами симметрии, что и фоновое физическое пространство-время, то эта величина должна удовлетворять уравнению

где X - векторное поле Киллинга, производная Ли вдоль него. В точках, где эти уравнения принимают вид ограничений на алгебраическую структуру Решая эти уравнения, можно показать [Фролов, Зельников (1985b)], что подобный регулярный вакуумный тензор энергии-импульса в точке полюса поверхности имеет следующий вид:

Здесь векторы комплексной световой тетрада:

Иными словами, этот тензор определяется двумя константами причем их разность фиксируется величиной конформных аномалий:

В случае сферически-симметричной черной дыры в качестве о может быть выбрана любая точка поверхности При этом отличные от нуля компоненты тензора энергии-импульса имеют вид

Из непрерывности свойства инвариантности (10.3.21) следует, что имеет вид, аналогичный (10.3.22) на полюсе горизонта событий и вне поверхности

Другим обстоятельством, которое также приводит к существенному упрощению задачи вычисления горизонте событий, является следующее. Пусть любой бискаляр (например, функция Грина скалярного поля), обладающий теми же свойствами симметрии, что и фоновое пространство-время. Тогда

Здесь производная Ли вдоль векторного поля Киллинга по первому (второму) аргументу. Если точки не совпадают с осью вращения и не лежат на поверхности то уравнение (10.3.26) показывает, что бискаляр зависит от разностей Если же точка -лежит на полюсе поверхности то функция вообще не зависит ни от ни от

Это, в частности, приводит к тому, что волновое уравнение, которому подчиняется функция — существенно упрощается и допускает точное решение. В координатах это уравнение принимает вид

где Заметим, что решение этого уравнения совпадает с потенциалом поля точечного заряда помещенного в точке на оси в плоском пространстве. Используя это решение, находим

Вычитая из этого выражения расходящуюся часть [см. (10.1.10)] и устремляя получаем для величины на полюсе горизонта событий следующее значение [Фролов (1982, 1983)] :

(при это выражение было получено Канделасом (1980) путем суммирования ряда для представления функции Грина.)

Фролов и Зельников аналогичным методом вычислили величину для электромагнитного поля. Коэффициенты в выражении (10.3.22) получили следующие значения:

При эти выражения воспроизводят результат, полученный Эльстером (1984) путем суммирования рядов.

Отметим одно любопытное свойство выражения (10.3.29). Нетрудно убедиться, что его можно переписать в виде

где К — гауссова кривизна двумерной поверхности черной дыры в точке ее полюса [Вычисление К на поверхности керровской черной дыры см. Смарр (1973b).] Выражение (10.3.31) справедливо и в случае, когда черная дыра помещена во внешнее статическое аксиально-симметричное гравитационное поле.

Нетрудно показать, что в приближении Пэйджа величина и на горизонте событий любой статической (в том числе и деформированной внешним полем) черной дыры может быть записана в виде (10.3.31). В этом же приближении величина характеризующая плотность энергии на поверхности черной дыры, описывается выражением [Фролов, Санчес (1985)]

где двумерный лапласиан на поверхности черной дыры, коэффициенты, входящие в выражение для конформных аномалий (10.1.3).

Для черных дыр с массой больше планковской вклад массивных полей в поляризацию вакуума значительно (на фактор характерный радиус кривизны) меньше вклада безмассовых полей. Имеется, однако, ряд причин, по которым изучение вклада массивных полей может представлять интерес. Прежде всего отметим, что при удается разделить вклады реальных и виртуальных частиц Так, в состоянии хартль-хокинговского вакуума вклад реальных частиц тепловой бани в и содержит экспоненциально малый фактор в то время как вклад виртуальных частиц зависит от степенным образом. Эффект поляризации вакуума массивных полей допускает значительно более детальное изучение, поскольку имеется возможность использовать разложение по малому безразмерному параметру 6. В том случае, когда фоновое гравитационное поле удовлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна, величина для массивных скалярного, спинорного и векторного полей в первом неисчезающем порядке по может быть получена вариацией следующего эффективного действия [Фролов, Зельников (1984)]:

где

Здесь масса поля, а коэффициенты для поля спина равны соответственно

коэффициент при члене в действии для скалярного поля; при поле конформно-инвариантно). Для шварцшильдовской

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

черной дыры в этом приближении имеет вид [Фролов, Зельников

где отличные от нуля компоненты

Обращает на себя внимание качественное сходство поведения для безмассовых и массивных полей. Для скалярного массивного поля плотность энергии положительна вдали от черной дыры, а вблизи нее меняет знак и становится отрицательной на горизонте, аналогично тому, как это происходит для конформного скалярного безмассового поля. Для векторного массивного поля, так же как и для электромагнитного, плотность энергии положительна на горизонте событий.

Вращение черной дыры приводит к появлению в окружающем пространстве циркулярного потока плотности энергии, связанного с поляризацией вакуума и описываемого компонентой Выражение для массивных полей в метрике Керра было получено и исследовано в работах Фролова и Зельникова (1983, 1984).

Завершая изложение основных результатов вычислений приведем для удобства ссылок следующую таблицу, в которой содержится перечень основных работ, посвященных изучению поляризации вакуума в черных дырых, и краткая характеристика полученных результатов. В графах этой таблицы дана информация о массе и спине поля, для которого проводились вычисления; указано, является ли рассматриваемая черная дыра вращающейся или заряженной ; значения каких величин или для какого состояния или и где (на горизонте или вне его) вычислялись, а также дается краткая информация о методе, с помощью которого проводились расчеты.

В заключение главы отметим, что в настоящее время имеется не только качественное понимание особенностей эффектов поляризации вакуума в черных дырах, но и хорошее количественное описание их.