§ 3.5. Сечение рассеяния волн черной дырой

Рассмотрим процесс рассеяния черной дырой приходящих из бесконечности плоских волн [Хандлер, Метцнер (1980)].

Напомним, что процесс рассеяния описывается так называемым дифференциальным сечением рассеяния.

Рис. 28. Траектории лучей с прицельными параметрами, близкими к («глория» - интерференция)

Например, в классической задаче рассеяния пучка параллельных лучей в приближении геометрической оптики дифференциальное сечение рассеяния определяется следующим образом:

где прицельный параметр луча, отклоняющегося в поле рассеивающего центра на угол в от направления падающего пучка, элемент телесного угла

Рис. 29. Дифференциальное сечение рассеяния гравитационного излучения невращающейся черной дырой для различных частот

В случае черной дыры и в пределе геометрической оптики зависимость определяется уравнениями (2.8.6)-(2.8.7); в этом случае вычисление тривиально. Специальный интерес представляет волновая задача, где важен учет интерференции рассеянных волн и поглощения части волн черной дырой. Задача эта решается разложением падающих волн по сферическим гармоникам с последующим анализом рассеяния каждой из них на потенциальном барьере (см. § 3.1) и суммированием результатов.

Следуя упомянутой работе Хандлера, Метцера (1980), прежде всего посмотрим, каких качественных особенностей следует ожидать в поведении дифференциального сечения.

Первая особенность носит очевидный характер и связана с рассеянием вперед (в 0). Когда волны рассеиваются на малый угол, это соответствует в полуклассическом приближении прохождению волны на большом расстоянии от дыры (большие или большие I в разложении по сферическим гармоникам), и поэтому рассеяние происходит на кулоновском потенциале. Отклонение луча в этом случае в Подставляя эту зависимость в (3.5.1), получаем

Другие особенности связаны с существованием в поле Шварцшильда круговой орбиты для безмассовых частиц и с возникновением специфических условий для интерференции волн при рассеянии на углы, близкие к Особенно важен и интересен последний случай — явление рассеяния назад, получившее название «глория» (сияние). Для шварцшильдовской черной дыры это явление проанализировано Метцнером и др. (1985). Суть его состоит в следующем.

На рис. 28 сплошной линией изображен луч, отклоняющийся точно на угол Соответствующий прицельный параметр — прицельный параметр «глории» для черной дыры массы равен

Здесь обозначено Также на этом рисунке изображены лучи с мало отличающимися от огибающие черную дыру с противоположных сторон и распространяющиеся после рассеяния параллельно друг

другу в направлении, близком к В этом случае разность хода лучей мала, возникает разность фаз, ведущая к интерференции.

Метцнер и др. (1985) решили задачу -рассеяния, используя обобщенное приближение. Их результат справедлив при частота волны) и Для этих условий имеем

Здесь X — длина волны, ее спин, функция Бесселя порядка

Подставляя в (3.5.3) численные значения получаем

Если условия не выполняются, то сечение рассеяния не выражается в виде простой формулы и находится численным методом. На рис. 29 приведены результаты расчетов Хандлера, Метцнера (1980) для рассеяния гравитационных волн . На всех кривых видна особенность при рассеянии вперед

Для уже ясно видна интерференционная картина «глория» - рассеяния назад . Сравнение результатов численного счета с формулой (3.5.4) для показывает хорошее согласие в положении и ширине ближайшего к -максимума. С увеличением частоты минимумы кривых при рассеянии точно назад становятся все более глубокими. Это связано с увеличением поглощения волн для малых I (что соответствует малым с увеличением частоты. В пределе со рассеяние гравитационных волн (и вообще любых волн с точно назад дает

Полные сечения поглощения для и 2,5 равны соответственно Напомним, что для сечение поглощения составляет

О зависимости сечения рассеяния волн на шварцшильдовской черной дыре от их частоты см. также Санчес (1976, 1977, 1978а, b).