§ 11.2. Поверхностная гравитация. Массовая формула

Согласно теоремам единственности ( § 6.3, 6.4) уединенная стационарная черная дыра в общем случае является керрньюменовской. Для такой черной дыры значения угловой скорости поверхностной гравитации к и электрического потенциала постоянны на горизонте событий. Свойст во постоянства этих величин сохраняется и в, том случае, если черная дыр? окружена веществом, при условии, что геометрия пространства-времени

остается стационарной и аксиально-симметричной или статической. Поскольку это свойство существенно для развития термодинамической аналогии в физике черных дыр, остановимся на нем подробнее.

Пусть векторные поля Киллинга, отвечающие сдвигу по времени и вращению. Определим бивектор

Тогда, как показал Картер (1973а), при выполнении условия циркулярности (см. § 6.4) горизонт событий произвольной стационарной аксиально-симметричной черной дыры совпадает с множеством точек, где бивектор становится светоподобным при этом касательные векторы к горизонту событий совпадают по направлению со световым вектором, лежащим в двумерной световой площадке, растягиваемой векторами Выбирая нормировку соответствующим образом, имеем

Из свойств симметрии пространства-времени следует, что угловая скорость черной дыры не может зависеть ни от времени I, ни от угла у:

Нетривиальным моментом является то, что не зависит также и от «широты” точки на поверхности черной дыры, т.е. постоянна на всей этой поверхности. Для доказательства этого свойства введем обозначения

Поскольку (как и лежит в плоскости, касательной к горизонту событий, то и из (11.2.2) имеем

Если продифференцировать это соотношение использовать свойство коммутативности то нетрудно получить следующее равенство:

Умножим теперь обе части этого равенства на и проведем антисимметризацию по индексам а, у и §. Если учесть соотношение

вытекающее из условия циркулярности (6.4.4), и обращение в нуль на горизонте инварианта то можно убедиться, что правая часть полученного выражения равна нулю, и мы имеем

Вне оси симметрии это условие означает, что лежит в двумерной плоскости, растягиваемой векторами а соотношение (11.2.3) показывает, что Тем самым доказано свойство постоянства на горизонте событий. (В полюсных точках определяется по непрерывности.)

Свойство постоянства угловой скорости черной дыры можно сформулировать несколько иным способом. Введем векторное поле Киллинга

На горизонте событий это векторное поле касательно к образующим горизонта и Иными словами, постоянство означает, что горизонт событий совпадает с горизонтом Киллинга. Последний определяется как световая поверхность, световые касательные векторы к которой совпадают (при соответствующей нормировке) с векторами некоторого фиксированного поля Киллинга.

Перейдем теперь к доказательствву постоянства поверхностной гравитации к Эта величина уже встречалась нам неоднократно, в частности, при рассмотрении различных свойств керровской черной дыры. Дадим теперь общее определение этой величины, пригодное для произвольной стационарной (не обязательно уединенной) черной дыры.

Поскольку величина (равная нулю) постоянна на поверхности горизонта событий, то вектор нормален к этой поверхности. В силу светового характера последней имеем

где k — инвариантная функция на поверхности черной дыры, называемая поверхностной гравитацией. Так как касательны к горизонту и то, применяя операторы к обеим частям (11.2.10), можно убедиться, что Это свойство — простое отражение свойств симметрии, присущей пространству-времени. Гораздо менее тривиальным является независимость к от «широты” точки на поверхности черной дыры.

Для доказательства постоянства к на всем горизонте событий, следуя работе Бардина и др. (1973), удобно использовать тетрадный формализм. С этой целью дополним и комплексной световой тетрады, выбрав комплексные световые векторы касательными к поверхности горизонта и нормированными соотношением и действительный световой вектор им, ортогональный и и нормированный условием С помощью введенной комплексной световой тетрады к можно записать в следующем виде:

Действительно, если, используя переписать (11.2.10) в виде

и воспользоваться тем, что на то после умножения (11.2.12) на получаем (11.2.11).

С помощью (11.2.11) получим

Поскольку первый из членов в правой части зависит лишь от значения на то можно использовать совпадение на этой поверхности с векторным полем Киллинга В частности, с помощью соотношения для векторного поля Киллинга приведем первый член в правой части Используя (11.2.12) и соотношение второй член в правой части (11.2.13) запишем в виде а Покажем теперь, что этот член сокращается с последним членом в правой части (11.2.13). С этой целью заметим, что условия нормировки нулевой тетрады приводят к соотношению

Используя это соотношение, а также условия отсутствия сдвига и расширения поверхности горизонта событий

перепишем последний член в правой части (11.2.13) в виде

Это выражение лишь знаком отличается от второго члена и сокращается с ним. В итоге имеем

Заметим теперь, что на поверхности горизонта

В этом можно убедиться с помощью (11.2.14), (11.2.15) и условий нормировки векторов тетрады. Поэтому с учетом и (11.2.15) имеем

Используя это соотношение и уравнения Эйнштейна перепишем (11.2.17) в виде

Для завершения доказательства постоянства к мы предположим, что тензор энергии-импульса удовлетворяет условию энергодоминантности (см. Приложение), т.е. для светоподобного вектора 1а является непространственноподобным вектором. При выполнении этого условия вектор на горизонте событий обязан быть светоподобным [случай времениподобного вектора исключается, поскольку на горизонте см. (6.2.2)]. Поэтому и соотношение (11.2.20) доказывает, что к постоянна на горизонте.

Интегральные кривые векторного поля на горизонте событий совпадают с его образующими и поэтому являются геодезическими. В этом можно также непосредственно убедиться с помощью соотношения (11.2.12). Поскольку правая часть этого уравнения не обращается в нуль, то киллинговский параметр не совпадает с аффинным параметром X вдоль световых геодезических, описываемых этим уравнением. Связь имеет вид где произвольные числа, отвечающие произволу в выборе афинного параметра

Остановимся теперь на физической интерпретации k. Рассмотрим стационарного наблюдателя, движущегося вблизи черной дыры, для которого мировая линия совпадает с интегральной кривой поля Киллинга Вектор 4-скорости такого наблюдателя

Если описывается выражением (11.2.9), то такой наблюдатель, находясь вблизи горизонта событий, обращается с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью черной дыры. Очевидно, движение подобного наблюдателя негеодезично, 4-ускорение его движения равно

Обозначим Тогда, сравнивая (11.2.12) и (11.2.21), получим

где означает переход к пределу, при котором рассматриваемая точка, в которой вычисляется выражение стремится к горизонту событий.

Для невращающейся черной дыры не что иное, как фактор красного смещения Представим себе, что тело покоится вблизи горизонта событий, удерживаемое невесомой жесткой нитью. Если масса тела то, чтобы оно оставалось в покое, на него со стороны нити должна действовать сила такая, что Можно показать, что при этом достаточно, чтобы на другой (удаленный) конец нити действовала "сила (см. § 2.2). Поэтому величину можно интерпретировать как ускорение тела, покоящегося вблизи черной дыры, измеренное в системе отсчета удаленного наблюдателя. Иными словами, поверхностная гравитация к характеризует предельную «напряженность" гравитационного поля на поверхности черной дыры с точки зрения удаленного наолюдателя. Аналогичный смысл имеет к и для вращающейся черной дыры — с той лишь разницей, что рассматриваемое тело вращается со скоростью черный дыры.

При описании физических эффектов в поле заряженных черных дыр наряду с к обычно входит другая инвариантная величина потенциал электрического поля на поверхности черной дыры. В гл. 7 отмечалось, что

эта величина постоянна на поверхности керрньюменовской черной дыры. Покажем, что данный результат имеет общий характер и справедлив для любой статической или аксиально-симметричной стационарной (не обязательно уединенной) черной дыры.

Пусть — векторное поле Киллинга и тензор электромагнитного поля, удовлетворяющий уравнениям Максвелла

и подчиненный условию симметрии

Тогда нетрудно убедиться, что вектор удовлетворяет условию

и, следовательно, является градиентом некоторой функции Ф:

Покажем, что если вектор-потенциал поля удовлетворяющий условию симметрии

то в качестве можно выбрать величину

Действительно, дифференцируя (11.2.28) и используя (11.2.27), имеем

Для определенности будем считать, что потенциал выбран таким образом, что обращается в нуль на бесконечности. Если выбрать в качестве векторное поле то значение соответствующей величины на горизонте событий называется электрическим потенциалом черной дыры. Покажем, что постоянно на горизонте. С этой целью заметим, что условие

которое, согласно (6.2.2), выполняется на поверхности произвольной стационарной черной дыры для электромагнитного поля эквивалентно соотношению

т.е. на поверхности горизонта

где величина а в случае керрньюменовской черной дыры совпадает с

«поверхностной плотностью заряда», введенной в гл. 7 [ср. с формулой (7.3.1) ]. Отсюда вытекает, что для любого вектора , касательного к поверхности горизонта, имеет место равенство

что означает постоянство электрического потенциала на горизонте событий.

Доказанное выше свойство постоянства величин на горизонте событий стационарной черной дыры оказывается существенным при выводе так называемой массовой формулы. Эта формула устанавливает связь наблюдаемой на бесконечности массы черной дыры с геометрическими характеристиками поверхности ее горизонта событий. А именно, Бардин и др. (1973) показали, что в стационарном аксиально-симметричном асимптотически плоском пространстве-времени наблюдаемая на бесконечности масса черной дыры может быть записана в следующем виде:

где угловая скорость, угловой момент, к — поверхностная гравитация, А — площадь поверхности черной дыры, а полный тензор энергии-импульса стационарного аксиально-симметричного распределения вещества и полей вне черной дыры. Интегрирование ведется по пространственноподобной асимптотически плоской поверхности, пересекающей горизонт событий по некоторой двумерной поверхности Поверхность выбрана так, что являются касательными к этой поверхности, а на асимптотической бесконечности 2 ортогональна

Доказательство формулы (11.2.30) проводится следующим образом [Бардин и др. (1973)]. Для произвольного векторного поля Киллинга

(Последнее из этих соотношений может быть получено сверткой по ). Выбирая в качестве интегрируя (11.2.32) по поверхности 2 и используя теорему Стокса [см. ], имеем

где элементы поверхностей и I соответственно. При описанном выше способе выбора поверхности 2 ее граница состоит из

Рис. 83. Пространство-время стационарной черной дыры (иллюстрация к выводу массовой формулы)

границы черной дыры двумерной поверхности на пространственной бесконечности (рис. 83).

Покажем, что масса черной дыры, измеренная удаленным наблюдателем в асимптотически плоской области по ее воздействию на пробные частицы, дается следующим выражением:

Для этого предположим, что вдали от черной дыры покоится пробное тело, Тогда 4-ускорение этого тела равно

Пусть — пространственно подобная поверхность, ортогональная в асимптотической области вектору - скорости тела. В этой области гравитационное поле является слабым и легко устанавливается связь его инвариантных 4-мерных характеристик с ньютоновским описанием. В частности, вектор лежащий в , имеет три существенные компоненты. В ньютоновской теории этот трехмерный вектор характеризует напряженность гравитационного поля и связан с потенциалом соотношением По теореме Гаусса, поток этого вектора через любую замкнутую двумерную поверхность 9 2 (лежащую в 2), охватывающую тяготеющее тело, равен где масса тела. Пусть — единичный вектор внешней нормали к лежащий в . Тогда

где элемент площади Используя свойство можно выражение заменить на при этом соотношение (11.2.36) приводится к вицу (11.2.34).

Аналогичным образом можно показать, что полный угловой момент системы, измеренный удаленным наблюдателем (например, по эффекту увлечения Пенсе-Тирринга), дается следующим выражением

Используя соотношение (11.2.33) и аналогичное соотношение для можно с учетом (11.2.34) и (11.2.37) получить

где интегралы в правых частях описывают вклад вещества и полей вне черной дыры в полные массу и угловой момент системы, а

и

— вклады в массы и углового момента самой черной дыры. Выражение для Мн можно преобразовать следующим образом. Выразим с помощью (11.2.9) через Тогда имеем

где Если векторы введенной выше комплексной световой тетрады лежат в плоскости, касательной к то где элемент площади двумерной поверхности Используя определение (11.2.11) поверхностной гравитации к и ее постоянство, интеграл в правой части (11.2.42) можно записать в виде где полная площадь поверхности черной дыры. Используя это равенство и подставляя (11.2.42) в (11.2.38), получаем массовую формулу (11.2.30).

Напомним, что в этой формуле полный тензор энергии-импульса вещества и полей вне черной дыры. При наличии электромагнитного поля он складывается из двух частей: тензора энергии-импульса вещества и тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Используя выражение для формулу (11.2.30) можно преобразовать к следующему виду [Картер (1973а, 1979)]:

где вклад в полную массу, связанный с наличием вне черной дыры тока

масса черной дыры с учетом энергии ее электромагнитного поля:

Здесь

электрический заряд черной дыры.

В приведенных формулах вектор-потенциал электромагнитного поля, убывающий на бесконечности и удовлетворяющий соотношениям В отсутствие вещества и токов вне черной дыры ее масса совпадаете . Соотношение (11.2.45) для изолированной черной дыры было получено Смарром (1973а).

Интегральная массовая формула (11.2.30) позволяет найти разность масс для двух слегка отличных друг от друга статических или стационарных аксиально-симметричных конфигураций, содержащих черную дыру. Обозначим соответствующую вариацию метрики фиксируем калибровочный произвол (имеющийся в выборе этой величины) так, что а положение горизонта событий остается неизменным. Тогда общее выражение для вариации массы

записывается следующим образом:

Если вне черной дыры нет вещества и полей, то последние два члена в этой формуле отсутствуют и она совпадает с соотношением (11.1.3) для керровской черной дыры.

Приведем явное выражение для изменения полной массы системы в случае, когда вне черной дыры вращается с локальной угловой скоростью идеальная жидкость, описываемая тензором энергии-импульса а система как до, так и после изменения ее параметров стационарна и аксиально-симметрична [Картер (1973а), Дамур (1982)]:

где

Здесь элемент локального углового момента вещества, локальное распределение заряда, электрический ток, локальная температура, локальное распределение энтропии вещества, локальный химический потенциал и локальное распределение числа частиц.

Приведенные в этом параграфе интегральное и дифференциальное выражения для массовой формулы оказываются удобными при изучении многочисленных вопросов, связанных с процессами, приводящими к изменению параметров черной дыры. Они также относятся к числу основных соотношений, используемых при описании аналогов начал термодинамики в физике черных дыр. К рассмотрению этого вопроса мы теперь переходим.