§ 6.4. Теорема единственности для стационарных аксиально-симметричных черных дыр

Перейдем теперь к обсуждению свойств решений уравнений Эйнштейна — Максвелла, описывающих стационарные аксиально-симметричные черные дыры. В подобных пространствах наряду с векторным полем Киллинга нормированным на бесконечности условием имеется также пространственноподобное векторное поле Киллинга отвечающее симметрии пространства относительно вращения. Это поле коммутирует с и обладает замкнутыми интегральными кривыми. Поле отлично от нуля всюду во внешней области и на горизонте, кроме оси вращения, на которой Если обозначить условие регулярности (локальной евклидовости) пространства-времени на оси вращения выполняется, когда

Векторные поля и с описанными выше свойствами, включая условие нормировки (6.4.1), определены в стационарном аксиально-симметричном асимптотически плоском пространстве однозначно.

В таком пространстве можно ввести координаты так, что выполняются соотношения

где

а функции не зависят от Говорят, что метрика (6.4.2) удовлетворяет условию циркулярности, если за счет координатных преобразований, сохраняющих форму (6.4.2), можно добиться обращения в нуль коэффициентов В этом случае двумерные поверхности являются ортогональными двумерным поверхностям, образованным интегральными кривыми полей и Необходимым и достаточным условием для циркулярности метрики является выполнение следующих соотношений [см., например, Крамер и др. (1980)]:

Можно показать [Кундт, Трюмпер (1966), Картер (1973а) что эти соотношения имеют место тогда и только тогда, когда тензор Риччи удовлетворяет условиям

Очевидно, что для вакуумных решений уравнений Эйнштейна эти условия выполняются. Нетрудно убедиться, что они также справедливы и вне источников в электровакуумных пространствах [Картер (1969)]. Таким образом, в интересующем нас случае (стационарные аксиально-симметричные решения уравнений Эйнштейна - Максвелла) условие циркулярности выполнено и элемент длины (6.4.2) допускает следующее представление:

где

Картер (1969) показал, что если выполняется условие причинности (отсутствуют замкнутые времениподобные линии), то величины

и X положительны во всей внешней области, за исключением оси вращения, где и горизонта событий, ограничивающего внешнюю область, где обращается в нуль. Для статической черной дыры уравнение горизонта событий принимает вид

Если выполнены уравнения Эйнштейна или уравнения Эйнштейна — Максвелла, то функция является гармонической:

Поскольку всякая двумерная метрика является конформно-плоской, то можно записать в виде

Удобнее, однако, для описания свойств метрики в окрестности горизонта ввести координаты которые в асимптотически удаленной области связаны со стандартными сферическими координатами к в

соотношениями

Здесь измеряемая асимптотически удаленным наблюдателем масса черной дыры, а метрика в этих координатах имеет вид

Картер (1971) показал, что координаты покрывают всю внешнюю область стационарной черной дыры (за исключением оси вращения, где эти координаты имеют очевидную особенность). При этомлр периодична (с периодом изменяется от до пробегает значения от — 1 до +1 (граничные значения достигаются на «северной” и «южной” полярных осях), а (значению отвечает горизонт событий, и для асимптотически удаленных точек). В этих координатах

а электромагнитное поле вне источников записывается следующим образом:

величины являются функциями от

Перейдем теперь к изложению основных этапов доказательства теоремы единственности для аксиально-симметричных стационарных черных дыр. Они состоят в следующем;

1) Используя метод, развитый Эрнстом (1968а, b) [см. также Крамер и др. (1980)], можно свести нахождение решения уравнения Эйнштейна-Максвелла к задаче решения системы двух эллиптических уравнений второго порядка для двух комплексных функций от переменных (потенциалов Эрнста). При этом оказывается, что полученные уравнения совпадают с уравнениями движения для определенного лагранжиана.

2) Анализируются условия на коэффициенты метрики (6.4.6), (6.4.11) и компоненты электромагнитного поля (6.4.13), вытекающие из требования регулярности пространства-времени в окрестности горизонта событий и на оси вращения, а также из предположения о том, что пространство является асимптотически плоским. Эти условия затем переформулируются эквивалентным образом в виде граничных условий для потенциалов Эрнста в особых точках

3) Используя свойства инвариантности введенного для рассматриваемой задачи лагранжиана, получают дифференциальное условие, связывающее произвольные два решения. С помощью этого условия доказывается, что любые два решения, удовлетворяющие найденным граничным условиям с фиксированным значением входящих в них произвольных постоянных, совпадают.

4) Показывается, что известное решение Керра — Ньюмена, описывающее заряженную вращающуюся черную дыру, удовлетворяет указанным граничным условиям и содержит нужное число произвольных постоянных. Тем самым устанавливается, что этим семейством решений исчерпываются

все решения, описывающие стационарные аксиально-симметричные черные дыры.

Исходным пунктом при реализации описанной выше программы является следующее замечание. Пусть известны функции отвечающие некоторому аксиально-симметричному стационарному асимптотически плоскому решению уравнений Эйнштейна — Максвелла. Тогда функция V для этого решения определяется из соотношения (6.4.12), а функция может быть однозначно определена путем решения уравнения, вытекающего из полной системы Эйнштейна — Максвелла [Крамер и др. (1980)].

Перейдем от переменных к новым переменным с помощью следующих соотношений:

Можно показать, что исходная система уравнений Эйнштейна — Максвелла обеспечивает выполнение условий совместности для этой системы и приводит к четырем нелинейным уравнениям в частных производных для четырех неизвестных функций (потенциалов Эрнста) , которые могут быть получены варьированием следующего функционала действия:

где

Здесь все операции свертки и поднятия индексов осуществляются с помощью двумерной метрики В отсутствие электромагнитного поля для получения решений вакуумных уравнений Эйнштейна достаточно положить при этом «лагранжиан” принимает вид

Картер (1971, 1973а) показал, что граничные условия, однозначно определяющие решение , вытекают из следующих предположений: а) пространство-время является асимптотически плоским; пространство-время регулярно везде во внешней области, в том числе и на оси симметрии; с) горизонт событий является регулярной поверхностью, т.е. на нем отсутствуют физические особенности. Эти предположения в нашем случае принимают вид:

а) В асимптотически удаленной области (при являются регулярными функциями со следующими асимптотиками:

где постоянные, имеющие смысл соответственно углового момента, электрического и магнитного монопольного заряда черной дыры.

b) На оси симметрии являются регулярными функциями и при этом выполнены следующие условия:

c) На горизонте событий (при являются регулярными функциями и X, так что выполняются условия

В отсутствие электромагнитного поля перечисленные выше условия при превращаются в граничные условия для задачи (6.4.17).

Следующий, основной этап доказательства состоит в установлении дифференциального тождества, связывающего два произвольных стационарных аксиально-симметричных решения. При выводе такого тождества мы будем следовать работе Мазура (1982). При этом существенно используется свойство инвариантности действия относительно группы преобразований полевых переменных. Для установления этой инвариантности удобно ввести вместо переменных В новые комплексные переменные связанные с ними соотношениями

В этих переменных агранжева плотность (6.4.16) записывается в виде

а условие положительности X эквивалентно неравенству

Обозначим теперь через следующую невырожденную матрицу, которая

построена из и :

Пусть

где матрица, получаемая из почленным дифференцированием ее компонент. С помощью простой проверки можно убедиться, что лагранжева плотность (6.4.22) допускает следующую эквивалентную запись:

где обозначает взятие матричного следа, а операции с индексом производятся с помощью метрики

Пусть псевдоунитарная матрица, удовлетворяющая условию

Тогда матрица

имеет ту же форму, что и (6.4.24) при новых преобразованных значениях Если матрица преобразования не зависит от то очевидным образом лагранжева плотность (6.4.26) не изменяется при преобразованиях (6.4.28). Иными словами, имеет место инвариантность действия (6.4.15), (6.4.22) относительно группы нелинейных преобразований порождаемых линейным представлением (6.4.24). В соответствии с первой теоремой Нетер эта инвариантность действия влечет за собой законы сохранения. В рассматриваемом случае они эквивалентны выполнению соотношения

для решений полевых уравнений.

Рассмотрим теперь два произвольных поля вида (6.4.24) и образуем из них матрицу Тогда можно убедиться, что выполняется следующее дифференциальное тождество:

где

Тождество (6.4.30) позволяет завершить доказательство теоремы единственности. Пусть или и

решения, описывающие две стационарные аксиально-симметричные черные дырыи удовлетворяющие условиям регулярности Тогда первый член в левой части (6.4.30) обращается в нуль тождественно, а второй — если проинтегрировать выражение (6.4.30) по внешней области и учесть граничные условия другой стороны, можно показать [Мазур (1982, 1984) ], что выражение в правой части тождества (6.4.30) неотрицательно и, следовательно, оно обращается в нуль на решениях Далее доказывается, что с учетом граничных условий обращение в нуль правой части (6.4.30) влечет за собой равенство

которое означает, что существует только одно решение уравнений поля в теории (6.4.15), (6.4.22), удовлетворяющее заданным граничным условиям. Тем самым доказывается, что всякая стационарная аксиально-симметричная черная дыра однозначно определяется заданием значений четырех произвольных параметров

Для завершения доказательства заметим, что следующее стационарное аксиально-симметричное решение уравнений Эйнштейна — Максвелла (решение Керра — Ньюмена)

удовлетворяет граничн условиям и содержит четыре произвольных параметра: (связанные с параметрами и С соотношениями это решение является наиболее общим, описывающим уединенную стационарную аксиально-симметричную черную дыру в теории Эйнштейна — Максвелла. Обычно считают, что магнитный монопольный заряд у черной дыры отсутствует В этом случае решение переходит в решение (4.2.1), (4.8.1), (4.8.2).

Описанное доказательство теоремы единственности значительно упрощается в случае незаряженной черной дыры. Для перехода к этому случаю достаточно положить вместо матрицы (6.4.24) обозначить через матрицу 2X2, получаемую из (6.4.24) вычеркиванием последней строки и последнего столбца. При этом тождество (6.4.30) переходит в тождество, найденное Робинсоном (1975) при доказательстве теоремы единственности для незаряженных стационарных аксиально-симметричных черных дыр.

Прежде чем перейти к рассмотрению возможности существования неэлектромагнитных «волос” у черных дыр, обсудим вопрос о глобальной структуре пространства-времени Керра — Ньюмена.