Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕРНЫХ ДЫР§ 5.1. Асимптотически плоские пространства. Диаграммы ПенроузаДо сих пор при описании свойств черных дыр мы ограничивались рассмотрением метрики Шварцшильда и метрики Керра, а соответствующее пространство-время было стационарным и обладало дополнительным свойством симметрии. Исследование геодезических (отвечающих движению пробных частиц и лучей света) и волновых полей в этих метриках позволило нам описать ряд интересных и важных особенностей протекания физических эффектов в поле таких черных дыр. Естественно, возникает вопрос: а существуют ли черные дыры, отличные от описанных? Каковы их свойства? Чтобы ответить на эти вопросы, прежде всего требуется распространить приведенное выше определение на общий случай, когда пространство-время уже не является стационарным. Такое обобщение очевидно. Резонно и в общем случае называть черной дырой область пространства-времени, откуда невозможен выход к отдаленному наблюдателю никаких, несущих информацию сигналов. Для придания строгого смысла этому определению следует лишь уточнить, о каком классе наблюдателей идет речь и что на геометрически инвариантном языке означает понятие «отдаленный”. Необходимые уточнения легко сделать в том физически важном случае, когда вещество и источники поля вдали от черной дыры отсутствуют, так что при удалении от нее геометрия пространства-времени все меньше отличается от плоской. Пространство-время, обладающее этим свойством, называют асимптотически плоским. При изучении черных дыр необходимость строгих определений для, казалось бы, наглядных понятий очевидна, ибо само существование этих объектов принципиально меняет структуру пространства-времени и его глобальные свойства по сравнению с плоским пространством-временем Минковского. Так, например, в пространстве-времени Шварцшильда имеется сингулярность, не все нулевые геодезические уходят на бесконечность. Заметим, что такой геодезической является, например, круговая орбита светового луча при Строгое определение асимптотически плоских пространств было предложено Пенроузом (1963). К этому определению можно прийти посредством следующих рассуждений. Рассмотрим сначала, как устроено на бесконечности плоское пространство-время Минковского
Рис.
Рис. 49b. Диаграмма Пенроуза пространства-времени Минковского. На диаграмме изображены времениподобные способом — сделаем необходимое конформное преобразование, приближающее бесконечно удаленные точки на конечное расстояние. Перейдем сначала от обычных сферических координат
Тогда интервал
где
Точкам на бесконечности в пространстве-времени Минковского соответствуют значения исследовании общих свойств пространства-времени именно конформная структура важна, так как она определяет причинные свойства окрестности точек, в том числе и свойства световых конусов. Метрика На диаграмме Пенроуза все времениподобные кривые начинаются в точке Все нулевые геодезические в С помощью диаграмм Пенроуза удобно изучать глобальную структуру пространства-времени и в случае, когда геометрия существенно отличается от плоской. При этом принято использовать координаты, в которых световые лучи изображаются прямыми линиями с наклоном 45° (этим свойством обладают, в частности, использованные выше координаты Вернемся теперь к вопросу о бесконечно удаленных наблюдателях. Мировые линии таких наблюдателей, покоящихся в точках Для исследования мира вблизи координаты
Далее, сделав преобразование
В этих координатах поверхность Исходя из того, что свойства асимптотически плоского пространства в окрестности «бесконечности” должны быть аналогичны свойствам пространства Минковского, Пенроуз (1963, 1964, 1965b, 1968) предложил следующие определения. Сначала определяются так называемые асимптотически простые миры. Пространство-время Если в окрестности 1. Пространство 2. Образующими поверхностей 3. При удалении в бесконечность вдоль световой геодезической тензор кривизны в физическом пространстве Свойство 1 означает, что асимптотически простое пространство глобально устроено так же, как пространство Минковского. В частности, оно имеет сходную причинную структуру, и в нем «нет места” для черных дыр. Чтобы учесть возможность существования локализованных областей с сильным гравитационным полем, наличие которых не изменяет асимптотических Пространство-время Шварцшильда (2.2.1) и Керра (4.2.1) асимптотически плоские. Диаграммы Пенроуза для них изображены на рис. 50 с и 67. Метрика
с последующим выделением конформного фактора. Отмеченное выше свойство 3 означает, что в асимптотически плоских пространствах в окрестности -У эффекты, связанные с кривизной, пренебрежимо малы, а само пространство-время мало отличается от плоского. В частности, в этой области с хорошей точностью выполняются обычные законы сохранения энергии-импульса, а движение пробных тел приближенно можно считать равномерным и прямолинейным. В соответствии с этим в асимптотически плоском пространстве можно определить группу асимптотических симметрий. Для этого заметим, что преобразование из группы Пуанкаре пространства Минковского в декартовых координатах имеет следующий вид:
где
В пределе более простой вид. В частности, сдвигам
осуществляющие сдвиг поверхности Этот результат можно описать более формальным образом, допускающим естественное обобщение на случай произвольных асимптотически плоских пространств. Пусть
где Из-за того, что БМС-группа преобразований сохраняет лишь асимптотический вид метрики, а гравитационное поле медленно спадает на бесконечности, эта группа бесконечномерна и шире, чем группа Пуанкаре, точно сохраняющая форму метрики плоского пространства. Важным свойством БМС-группы является Итак, мы описали класс асимптотически плоских пространств, обладающих асимптотическим поведением, сходным с асимптотическим поведением пространства Минковского, и изложили кратко их свойства. В этом классе пространств естественным образом можно ввести понятие асимптотически удаленного наблюдателя, движение которого происходит почти по инерции. Теперь можно дать строгое определение черной дыры. Однако прежде чем сделать это, мы остановимся кратко еще на одном вопросе, связанном с теорией рассеяния безмассовых полей в асимптотически плоских пространствах, которая нам потребуется в последующих главах. Введенное выше определение асимптотически плоского пространства оказывается особенно удобным при обсуждении задачи рассеяния безмассовых полей и, в частности, при описании свойств гравитационного излучения. Универсальный характер поведения Проиллюстрируем сказанное на примере скалярного безмассового конформно-инвариантного поля, описываемого уравнением
в асимптотически плоском пространстве
Поле
где
Условие асимптотической регулярности при этом играет роль условия излучения, а задача классической теории рассеяния может быть сформулирована как задача нахождения образа на
В пространствах Минковского в координатах (5.1.4) это поведение отвечает следующей асимптотике в волновой зоне:
Описанный метод легко обобщается на случай других безмассовых полей [по этому поводу см., например, Пенроуз (1965b, 1968), Пирани (1964), Воловичидр. (1978, Фролов (1979, 1986)]. Наличие группы асимптотических симметрий в асимптотически плоском пространстве позволяет определить для безмассовых полей такие величины, как энергия и импульс падающего или выходящего потока. Пусть
где
где
Заметим, что для полей
Аналогичным образом записываются в терминах образов полей на
|
1 |
Оглавление
|