§ 4.5. Небесная механика вращающейся черной дыры

Рассмотрим движение по геодезическим пробных частиц в поле тяготения вращающейся черной дыры. В общем случае траектории довольно сложны, так как поле не обладает сферической симметрией. Подобное изложение вопроса см. Бардин и др. (1972), Стюарт и Уолкер (1973), Руффини, Уилер (1971), Мизнер, Торн, Уилер (1973), Шапиро, Тюкольский (1983), Дымникова (1986. Важные аспекты гравитационного захвата частиц вращающейся черной дырой рассмотрены в работах Дымниковой (1982), Бичака, Стачлика (1976), В приведенных работах можно найти ссылки на многочисленные оригинальные статьи.

Движение пробных частиц мы рассматриваем по отношению к «абсолютному” пространству, введенному нами в § 4,2, т.е. по отношению к жесткой решетке хронометрической системы отсчета, описываемой координатами Боейра — Линдквиста (см. § 4,3).

Первые интегралы движения записываются в виде

Здесь масса покоя пробной частицы, где собственное время частицы, постоянная энергия пробной частицы, постоянная проекция момента импульса частицы на ось вращения черной дыры, О —

найденный Картером (1968а) интеграл движения:

где -компонента 4-импульса пробной частицы. Движению ультрарелятивистской частицы соответствует предельный переход

Рассмотрим сначала характерные особенности движения частиц в экваториальной плоскости вращающейся черной дыры. Выражения для в этом случае могут быть записаны в виде [Шапиро, Тюкольский (1983)]

Эти выражения являются аналогом уравнений (2.8.1) - (2.8.2) для шварцшильдовской черной дыры. Анализ особенностей движения производится точно таким же способом, как в § 2.8. В частности, приравнивая правую часть уравнения (4.5.6) нулю и решая его относительно получаем «эффективный потенциал”. Экстремумы эффективного потенциала соответствуют круговому движению. Выражения для Екруг и круг имеют в этом случае вид

Здесь и в приводимых ниже формулах верхние знаки соответствуют обращению частицы в ту же сторону, в которую вращается черная дыра, нижние — в противоположную, поэтому будем всюду считать

Радиус ближайшей к черной дыре круговой орбиты, по которой движение происходит со скоростью света, есть

Эта орбита неустойчива.

Неустойчивая круговая орбита, на которой определяется выражением

Эти значения радиуса являются минимумами периастров всех параболических орбит. Если орбита частицы, прилетающей в экваториальной плоскости из бесконечности, где ее скорость с, подходит к черной дыре ближе, чем гсвяз, то частица захватывается черной дырой. Значение радиуса о периастра параболической орбиты определяется параметром

Таблица 2 (см. скан)

Таблица 3 (см. скан)

частицы:

причем

Наконец, радиус граничной окружности, отделяющей устойчивые круговые орбиты от неустойчивых, дается выражением

где

В табл. 2 приведены значения рассмотренных выше величин для предельно быстро вращающейся черной дыры в сравнении со случаем (в единицах Заметим, что при Минвариантное расстояние от точки до горизонта равное расходится. Поэтому, хотя при радиусы всех трех орбит стремятся к одному и тому же значению это вовсе не означает, что все орбиты в этом пределе совпадают друг с другом и лежат на горизонте [см. Бардин и др. (1972) ].

Наконец, приведем значения удельной энергии удельной энергии связи и удельного момента пробной частицы на последней устойчивой орбите (табл. 3).

Уравнение (4.5.6) показывает, что вблизи вращающейся черной дыры возможны движения частиц с отрицательным Решим его относительно Е:

Знак корня выбран положительным, так как это соответствует направлению 4-импульса частицы в будущее [Мизнер, Торн, Уилер (1973)]. Числитель (4.5.13) отрицателен, если и первое слагаемое превышает корень квадратный из скобки.

Второе и третье слагаемые в скобке можно сделать сколько угодно малым соответствует переходу к ультрарелятивистской частице, соответствует переходу к движению в азимутальном направлении). Тогда условия отрицательности соответствует выбору точек внутри эргосферы Если и это накладывает добавочные ограничения.

Выражение (4.5.13) справедливо только для Можно показать, что орбиты с отрицательным возможны внутри эргосферы при любом Наличие орбит с делает возможным механические процессы, ведущие к извлечению «вращательной энергии” черной дыры. Такие процессы были открыты Пенроузом (1969). Подробно это явление и физические следствия из него будут обсуждаться в § 8.1.

Рассмотрим теперь некоторые движения пробных частиц не в экваториальной плоскости и прежде всего нерялятивистских частиц, движущихся с параболической скоростью и нулевым угловым моментом Такие частицы будут падать с постоянным и увлекаться во вращение вокруг черной дыры в широтном направлении с угловой скоростью (4.3.11), т. е. угловой скоростью движения локально «невращающихся наблюдателей”.

Таким образом, в системе отсчета локально «невращающихся наблюдателей” эти частицы в каждой точке падают радиально.

Другой важный случай представляет падение ультрарелятивистских частиц (фотонов), которые на бесконечности движутся с Для них уравнения сводятся к следующим:

Мировые линии этих фотонов используются при построении системы координат Керра (§ 4.4).