§ 6.3. Теорема единственности для статических черных дыр

Обсудим вопрос о статических решениях вакуумных уравнений Эйнштейна. Выберем координаты в статическом пространстве-времени так, как было указано выше, и запишем статическую метрику в форме (6.2.5):

Обозначим через тензор Риччи трехмерного пространства описываемого уравнением и обладающего метрикой Тогда вакуумные уравнения Эйнштейна эквивалентны следующим уравнениям:

Здесь обозначает ковариантную производную в метрике

Предположим, что рассматриваемое пространство-время с метрикой (6.3.1): 1) является асимптотически плоским, 2) обладает горизонтом событий и 3) не содержит сингулярностей, лежащих вне или на горизонте событий.

Более детально эти предположения означают следующее:

1) Пространство 2 является асимптотически евклидовым, т.е. существует такой выбор координат которых

при

2) Функция V обращается в нуль на 2, причем множество является связной регулярной гладкой поверхностью.

Строго говоря, точки, где покрываются координатами поскольку в этих координатах метрика (6.3.1) имеет особенность. Предположение о существовании регулярного горизонта событий означает, что имеется возможность с помощью перехода к новым координатам получить продолжение метрики на часть пространства-времени, содержащую горизонт событий. Поверхность можно рассматривать как границу 2, возникающую в результате предельного перехода при

Функция V удовлетворяет эллиптическому уравнению следовательно, является гармонической. Поскольку при то при

конечных вне горизонта она принимает положительные значения, меньшие 1 [о соответствующем свойстве гармонических функций см., например, Яно Бохнер (1953)].

3) Всюду на 2 (при инвариант построенный из четырехмерного тензора кривизны, конечен.

Теорема единственности для статических черных дыр в пустоте гласит:

Всякое статическое решение вакуумных уравнений Эйнштейна, удовлетворяющее условиям 1-3, является сферически-симметричным и совпадает с метрикой Шварцшильда.

Эта теорема при дополнительном условии: 4) эквипотенциальные поверхности являются регулярными односвязными двумерными замкнутыми поверхностями, была доказана Израэлем (1967). Позднее [см. Мюллер цум Хаген и др. (1973), Робинсон (1977)] было доказано, что это условие, означающее, в частности, что всюду при вытекает из условий 1 —3.

Основные этапы доказательства теоремы Израэля состоят в следующем. Выбирают функцию в качестве координаты. Оставшиеся две координаты на поверхностях выбирают так, чтобы координатные линии V ортогонально пересекали поверхности В этих координатах метрика (6.3.1) записывается в виде

где являются функциями а уравнение (6.3.2а) принимает вид

Определим двумерный тензор внешней кривизны поверхности соотношением

Для следа этого тензора можно получить выражение которое с учетом (6.3.5) дает

Можно показать, что уравнение эквивалентно выполнению следующих равенств:

где скалярная кривизна двумерной поверхности

означает ковариантную производную в метрике Уравнения (6.3.5), (6.3.6) и (6.3.8) позволяют определить зависимость от V неизвестных функций а (6.3.9) и (6.3.10) играют роль связей: если они выполняются при одном значении V, то, в силу остальных уравнений, выполняются при всех

Следующий этап состоит в нахождении условий, которые налагает на неизвестные функции предположение 3. С этой целью запишем инвариант в обозначениях

Из уравнения (6.3.5) следует, что и поэтому из регулярности поверхности следует, что из регулярности при находим

Если обозначить через площадь поверхности черной дыры, то, интегрируя (6.3.5) по К от до 1, с учетом граничных условий (6.3.3) и (6.3.12) имеем

Отсюда вытекает, в частности, что всегда положительно.

С помощью уравнений (6.3.5) и можно получить следующие соотношения:

где

Последний этап доказательства состоит в интегрировании соотношений (6.3.14) и (6.3.15) по К от до 1. Если учесть граничные условия (6.3.3) и (6.3.12) и использовать тождество

справедливое для произвольной функции и теорему Гаусса — Бонне:

то получаем неравенства

причем равенства имеют место тогда и только тогда, когда везде на 2

Сравнивая (6.3.18) с (6.3.13), нетрудно убедиться, что эти соотношения не противоречат друг другу только в том случае, если в (6.3.18) всюду стоят знаки равенства, а следовательно, выполнены соотношения (6.3.19). Эти соотношения показывают, что рассматриваемое вакуумное решение уравнений Эйнштейна является сферически-симметричным, т.е. в соответствии с теоремой Биркгофа (1923) совпадает с решением Шварцшильда.

Аналогичная теорема единственности имеет место в случае, если отказаться от условия выполнения вакуумных уравнеьий Эйнштейна, заменив их системой уравнений Эйнштейна — Максвелла. 1 этой ситуации черная дыра может обладать зарядом, соответствующее единственное решение сферически-симметрично и совпадает с метрикой Рейсснера — Нордстрема [Израэль (1968)].