§ 12.3. Неустойчивость горизонтов Коши относительно квантовоэлектро динамических процессов

В предыдущем параграфе мы рассмотрели неустойчивость горизонта Коши относительно малых внешних возмущений. Однако метод малых возмущений, которым мы пользовались, не может дать ответ на вопрос о том, как перестроится метрика под влиянием нарастающих малых возмущений и возникнет ли при этом истинная сингулярность пространства-времени.

В данном паракрафе мы рассмотрим квантовые электродинамические процессы, возникающие внутри заряженной невращающейся черной дыры, которых мы не касались при анализе внутренней структуры. Будет показано, что эти процессы, приводящие к рождению электрон-позитронных пар, создают неустойчивость горизонта Коши и перестраивают структуру пространства-времени. При этом удается построить самосогласованное решение, учитывающее влияние рожденных частиц на электромагнитное поле и метрику, и в рамках этого решения показать, как изменяется метрика и что вместо горизонта Коши действительно возникает истинная сингулярность пространства-времени. Данная задача решена в работе Новикова и Старо-бинского (1980, который мы следуем в дальнейшем [см. также Березин (1980].

Рассмотрим ограничения, которые накладываются на физические условия внутри черной дыры с разными (рис. 85). Во-первых, черная дыра образуется только при (или где - заряд электрона), т.е. для параметров ниже линии 1 на рис. 85. Если заряд черной дыры достаточно велик, то вблизи нее происходит рождение электрон-позитронных пар [Марков, Фролов (1970), Гиббонс (1975), Дамур, Руффини (1975)]. Одна частица уходит на бесконечность, вторая (противоположного по отношению к черной дыре заряда) — пйглощается черной дырой, уменьшая ее эаряд, причем, как можно показать, за

Рис. 85. Различные области значений заряда черной дыры и ее массы (о границах областей см. текст)

время (т.е. очень быстро) он уменьшается до величины

где заряд электрона, его масса. В дальнейшем заряд черной дыры остается практически постоянным.

На рис. 85 цифрой 2 обозначена линия, соответствующая уравнению (12.3.1). Область возможных значений параметров черной дыры лежит вправо и ниже линий 1 и 2.

Заметим, что при достаточно малом заряде черной дыры горизонт Коши лежит настолько близко к истинной сингулярности, что кривизна пространства-времени здесь больше критического значения, при котором существенны квантовогравитационные эффекты. Всю эту область с физической точки зрения следует считать сингулярной. Несингулярный горизонт Коши существует только в том случае, если он лежит вне этой области. Инвариант кривизны имеет размерность . Граница сингулярной области определяется условием Для метрики Рейсснера - Нордстрема условие принадлежности границе сингулярной области определяется выражением (для )

или

(линия 3 на рис. 85). На этой границе Если параметры черной дыры лежат правее и ниже линии 3, то несингулярного горизонта Коши не существует. (В естественных астрофизических условиях, когда выполняются соотношения, приведенные в начале § 4.8, для черных дыр с массой заведомо них не может быть несингулярного горизонта Коши.)

Нам остается рассмотреть область, заштрихованную на рис. 85. Для значений параметров, попавших в эту область, оказываются существенными квантовоэлектродинамические процессы внутри заряженной черной дыры.

Введем в области II метрики Рейсснера - Нордстрема следующую систему отсчета, аналогичную (2.4.9):

где

Бывшая (при координата теперь пространственноподобна. Обозначим ее через Зависимость определяется соотношениями (12.3.5) и (12.3.6). Система отсчета с метрикой (12.3.4) обладает однородным (но анизотропным!) трехмерным пространством и поэтому особенно удобна для расчетов. По координате трехмерное пространство бесконечно Такая система отсчета существует конечное собственное время. Ее эволюция начинается с момента, соответствующего значению когда начинается расширение в направлении описываемое В начале расширения Здесь (на имеется фиктивная (координатная) сингулярность. В трансверсальных направлениях поперечные сечения нашей системы отсчета представляют собой сферы радиуса С течением происходит монотонное сжатие сфер от начального значения Расширение по х-координате с течением сменяется сжатием, и при величина а снова обращается в нуль, т.е. мы снова встречаемся с координатной сингулярностью. Радиус сфер в этот момент есть

В рассматриваемой системе отсчета электромагнитное поле является чисто электрическим (отлична от нуля компонента электромагнитного тензора), оно направлено вдоль х и не зависит от С ростом напряженность этого поля увеличивается обратно пропорционально Если это поле достаточно сильно, то в нем происходит рождение электрон-позитронных пар. Частицы, родившись в области II, не могут уйти из черной дыры, так как ее граница лежит в абсолютном прошлом. Поэтому они никак не влияют на свойства внешнего пространства I, но могут существенно менять ситуацию внутри черной дыры. Мы покажем, что рождающиеся частицы своим тяготением изменяют метрику в области II, что ведет к возникновению истинной сингулярности вместо горизонтов Коши.

Рассмотрим этот процесс подробнее. Выделим на рис. 85 значения параметров, где в области электрическое поле достигает значений при которых происходит быстрое рождение электрон-позитронных пар. Напишем условие того, что электрическое поле принимает критическое значение на горизонте Это соотношение можно переписать в виде (считаем

(линия 4 на рис. 85). Условие для области II выполняется при значении параметров между линиями 2, 3, 4. В рассматриваемой области В этом случае эволюция системы (12.3.4) происходит по закону

Электрическое поле на этой стадии еще не влияет на эволюцию метрики (она такая же, как при Если бы решение (12.3.8) продолжалось до (как это имеет место при то оно приводило бы к истинной сингулярности Электрическое поле меняется как в ходе сжатия системы и в нашем случае достигает значения на стадии (12.3.8), после чего начинается быстрое рождение паре, которые разгоняются электрическим полем и создают ток. Этот ток существенным образом начинает обратно влиять на электрическое поле. Без такого влияния оно стало бы больше и в конце концов изменило бы вид (12.3.8) при сравнимом с гприводя к фиктивной сингулярности на горизонте Коши.

В работе Новикова и Старобинского (1980) показано, что поле в области II не может быть заметно больше Ест. В противном случае возникающий, вследствие рождения пар, ток за короткое время снизил бы поле до значения Ест Интересно отметить, что уменьшение величины поля происходит не монотонно, а путем колебаний с изменением знака поля и направления тока. Механизмом релаксации колебаний являются радиационные потбри частиц и плазменные неустойчивости.

Итак, пока характерное время увеличения поля при сжатии системы (без эффекта рождающихся частиц) больше времени релаксации электрическое поле не может сильно превышать Ест. Вследствие этого электрическое поле не влияет на метрику. Не влияет на нее и тяготение родившихся частиц. Действительно, плотность энергии рожденных частиц, когда они движутся под действием поля вдоль оси растет пропорционально , а после релаксации — пропорционально В то же время кривизна пространства-времени растет быстрее

Когда в ходе эволюции системы станет рождение частиц и их движение уже не успевают существенно влиять на электрическое поле. Поэтому при электрическое поле растет пропорционально

Поле начнет влиять на метрику, когда величина компонента тензора энергии-импульса электрического поля) станет по порядку величины равной старшим членам в уравнении Эйнштейна, описывающим кривизну пространства-времени. Эти члены порядка Приравнивая величине находим

Подставляя численные значения находим Но мы уже говорили, что истинная физическая сингулярность лежит при Значит, квантовые эффекты, влияя на электрическое поле и через него на метрику, приводят к такой перестройке метрики, что она теперь описывается выражениями (12.3.4) и (12.3.8) вплоть до и вместо горизонта Коши возникает истинная сингулярность.

Подчеркнем, что мы построили самосогласованное решение, причем не методом малых возмущений, как в §§ 12.1, 12.2. Полученное решение точно описывает (разумеется, в рамках применимости теории), как возникает истинная сингулярность. Нам остается рассмотреть область параметров на рис. 85, лежащую между линиями 4 и 1.

Здесь электрическое поле везде в области II меньше Ест поэтому рождение пар не влияет заметно на него. Однако все же пары рождаются, и наличие даже небольшого их количества ведет к образованию истинной сингулярности.

Нетрудно понять качественно, как это происходит. Рожденные частицы разгоняются электрическим полем (причем в противоположных направлениях), создавая электрический ток. Суммарный трехмерный импульс пучков равен нулю. Макроскопически можно считать, что плазма в целом покоится в системе отсчета (12.3.4), хотя и обладает (если не произошла релаксация потоков) резко анизотропным давлением. Мировые линии элементарных объемов плазмы совпадают с мировыми линиями системы отсчета (12.3.4); до тех пор пока мы не учитываем обратного влияния рожденных частиц на метрику. Мы видим, что в данном случае мировые линии концентрируются вдоль горизонтов Коши, подобно тому, как на рис. 84 концентрировалось излучение от возмущений в области Эта концентрация и приводит к возникновению истинной сингулярности.

В цитированной работе Новикова и Старобинского (1980) построено самосогласованное решение, описывающее данную ситуацию. Тяготение родившейся плазмы начинает влиять на решение, когда приближается к Решение (12.3.8) уже не справедливо при Перестроенное решение имеет вид

где — плотность энергии рожденных пар, плотность энергии электрического поля. Решение (12.3.11) продолжается до возникновения истинной сингулярности. Таким образом, и в этом случае горизонт Коши не возникает, а образуется истинная сингулярность, причем самосогласованное решение, описывающее ее возникновение, не есть результат метода малых возмущений.

В заключение сравним неустойчивости горизонтов Коши от квантовых эффектов с классическими неустойчивостями от внешних возмущений, рассмотренных в предыдущем параграфе. Какие неустойчивости сильнее? Очевидно, что когда пары рождаются интенсивно (при уже вдали от квантовая неустойчивость сильнее, так как перестраивает решение также вдали от Если же то обе неустойчивости проявляются лишь в области, близкой к классическая неустойчивость может быть сильнее.