§ 8.4. Взаимное превращение электромагнитных и гравитационных волн в поле заряженной черной дыры

Хорошо известным следствием нелинейности системы уравнений Эйнштейна — Максвелла является эффект взаимного превращения электромагнитных и гравитационных волн во внешнем электрическом поле [подробное обсуждение этого эффекта и ссылки на соответствующие работы см., например, Сибгатуллин (1984)].

В настоящем параграфе мы кратко остановимся на описании этого эффекта в примении к задаче о распространении фотонов и гравитонов в поле заряженной черной дыры [Сибгатуллин (1973, 1974, 1984, Сибгатуллин, Алексеев (1974, Герлах (1974,1975)].

Пусть имеются метрика и электромагнитное поле удовлетворяющие системе уравнений Эйнштейна — Максвелла, и пусть малые возмущения на этом фоне. Тогда из условия, что также являются решениями этих уравнений, вытекает следующая линеаризованная система для возмущений:

Здесь

поднятие, опускание индексов и ковариантное дифференцирование осуществляется с помощью метрики тензор энергии-импульса поляку [см. ].

Эта система инвариантна относительно калибровочных преобразований

Для ликвидации калибровочного произвола удобно наложить следующие дополнительные условия:

Мы рассмотрим эффект взаимодействия электромагнитных и гравитационных возмущений, связанный с появлением членов, содержащих электрическое поле в уравнении (8.4.1а) и членов, содержащих гравитационное возмущение к, в уравнении в приближении, когда длина волны X электромагнитных и гравитационных волн много меньше характерного размера неоднородностей фоновых полей Используя приближение геометрической оптики, запишем возмущения и в следующем виде:

где некий параметр, характеризующий степень малости рассматриваемого члена по отношению к безразмерному параметру Фазовые функции в выражениях (8.4.5) выбраны так, что они совпадают друг с другом. Этого можно добиться за счет переопределения предэкспонент в случае, если их различие порядка В противном случае, если разница в фазах в выражениях для а и не мала члены, обусловливающие перемешивание, входят с высокочастотным множителем и перемешивание в низшем по порядке отсутствует.

Если обозначить , то при подстановке (8.4.5) в уравнения (8.4.1) и в калибровочные условия (8.4.4) приравнивание нулю членов порядка приводит к следующему соотношению (уравнение эйконала):

и уравнениям

где

Условие (8.4.6) показывает, что поверхность постоянной фазы световая. Поэтому интегральные линии определяемые уравнением

и лежаище на этой поверхности, являются световыми геодезическими, а параметр X — аффинный.

Дополним векторное поле до комплексной световой тетрады потребовав, чтобы векторы этой тетрады были нормированы условиями

(остальные скалярные произведения обращаются в нуль), а сами тетрады были ковариантно постоянны вдоль интегральных кривых

Из условия ортогональности следует, что векторы касательны к поверхности Можно показать [см., например, Сибгатуллин (1984], что оставшийся произвол в калибровочных преобразованиях сохраняющих дополнительные условия (8.4.7), может быть использован для того, чтобы привести выражения для и к виду

Умножая (8.4.8а) на и (8.4.8b) на и вводя обозначения получаем следующую систему уравнений:

Из этих уравнений следует соотношение

которое можно интерпретировать как закон сохранения суммарного числа фотонов и гравитонов.

Систему уравнений (8.4.14) можно несколько упростить, если от полевых переменных перейти к величинам

где

В терминах этих переменных уравнения (8.4.14) принимают вид

В случае, когда эта система сводится к уравнению второго порядка

где Это уравнение показывает, что амплитуда как электромагнитного, так и гравитационного поля испытывает осцилляции, связанные с процессом взаимного превращения фотонов и гравитонов. Период этих осцилляций определяется из условия [Сибгатуллин (1974]

Все сказанное выше непосредственно переносится на случай, когда высокочастотные фотоны и гравитоны распространяются в поле заряженной черной дыры. Уравнение эйконала

в метрике Рейсснера-Нордстрема (8.2.1) допускает полный интеграл

где

Световые лучи, образующие поверхность параметризуются произвольными постоянными имеющими смысл прицельного параметра и углового момента, и описываются уравнениями

Для данной конгруэнции световых лучей аффинный параметр X связан с соотношением а комплексная световая тетрада может быть выбрана так, что является действительной величиной и имеет вид

При этом уравнение (8.4.19), определяющее период осцилляций, принимает вид

Если на заряженную черную дыру падает высокочастотная электромагнитная волна с амплитудой и прицельным параметром то после прохождения вблизи черной дыры (если только последняя ее не захватит) возникнут выходящие электромагнитная и гравитационная волны с амплитудами [Сибгатуллин (1974, 1984]:

где минимальное значение для светового луча с данным прицельным параметром Это значение совпадает с максимальным корнем уравнения

При

этот корень, равный

становится кратным. В этом случае интегралы в (8.4.26) расходятся. Соответствующий прицельный параметр отвечает неустойчивой замкнутой круговой орбите.

Расходимость интегралов в (8.4.26) связана с невыполнением условий применимости приближения геометрической оптики. Учет волновых свойств света и гравитационного излучения приводит к конечному ответу. Оказывается, что при количество актов взаимопревращения волн вблизи экстремальной черной дыры порядка единицы, а суммарная интенсивность выходящих электромагнитных и гравитационных волн составляет конечную часть интенсивности падающего электромагнитного излучения. Остальная энергия при этом поглощается черной дырой.

Для вращающейся заряженной черной дыры описанный выше эффект взаимного превращения фотонов и гравитонов сопровождается Дополнительным вращением плоскости их поляризации [Сибгатуллин (1984]. Подчеркнем, что эффект взаимопревращения может иметь место только вблизи заряженных дыр. Хотя, как уже отмечалось ранее, их заряд в реальных астрофизических условиях, по-видимому, не может быть велик, тем не менее существуют процессы, приводящие к возникновению у черной дыры отличного от нуля электрического заряда. Один из таких процессов, связанный с действием на вращающуюся черную дыру внешнего магнитного поля, был описан в предыдущей главе. Другой возможный процесс, предложенный Шварцманом (1971, связан с разницей в действии давления излучения на электроны и ионы вещества, аккрецирующего на черную дыру.