§ 2.4. Пространство-время внутри сферы Шварцшильда

Тот факт, что собственное время падения частиц до сферы Шварцшильда конечно, подсказывает способ построения системы отсчета, которую можно продолжить при Надо связать систему отсчета со свободно падающими частицами. При этом на гравитационном радиусе в такой системе заведомо не возникнут бесконечные ускорения и соответствующие бесконечные силы, так как частицы системы свободно падают, находятся в невесомости и тождественно везде равно нулю. Наиболее простая система отсчета такого рода состоит из свободно падающих частиц, имеющих на пространственной бесконечности нулевую скорость [система отсчета Леметра (1933); см. также Рылов (1961]. Движение этих частиц описывается уравнением (2.3.9).

Чтобы перейти к зтой системе отсчета, выберем в качестве координаты времени время отсчитываемое часами на падающих частицах. В некоторый момент который мы примем за совокупность свободно падающих частиц находится на разных В качестве радиальной координаты в их системе отсчета можно выбрать эти значения маркирующие частицы и неизменные в дальнейшем для каждой из них.

Тогда квадрат интервала в системе свободно падающих частиц запишется в виде

Рис. 1. Пространство-время Шварцшильда в координатах Леметра. Пунктир - линий ; ABC - мировая линия фотона, падающего в черную дыру. В точках А. В. С показаны отрезки мировых линий фотонов, движущихся в противоположную сторону

В качестве радиальной координаты в рассматриваемой системе удобно использовать не а

Квадрат интервала (2.4.1) теперь перепишется в виде

Система отсчета с интервалом (2.4.3) — система Леметра — действительно не имеет никаких особенностей на сфере Шварцшильда. Чтобы убедиться в этом, запишем в явном виде связь между координатами Шварцшильда и Леметра:

Приравнивая в находим уравнение для положения сферы Шварцшильда в системе Леметра:

Выражения для всех на сфере Шварцшильда вполне регулярны, не имеют никаких особенностей. Вычисление всех отличных от нуля инвариантов кривизны 4-мерного пространства-времени также показывает отсутствие на сфере Шварцшильда каких-либо особенностей. Система Леметра продолжается при Пространство-время в координатах Леметра изображено на рис. 1 (угловые координаты в, у не важны в силу симметрии). Система продолжима вплоть до т.е. [см.

Здесь имеется истинная особенность пространства-времени — бесконечная кривизна. Это видно, например, из того факта, что инвариант кривизны при Бесконечность указанного инварианта означает бесконечность приливных гравитационных сил.

Как видно из рисунка, каждая свободно падающая частица с в системе Леметра движется с течением к меньшим За конечное время частица достигает падает дальше и достигает истинной особенности Продолжить пространство-время за сингулярность нельзя; здесь бесконечны приливные гравитационные силы, разрушающие любые частицы. Вблизи существенны квантовые эффекты гравитационного поля, о чем мы будем говорить в гл. 12.

На рис. 1 нанесены также мировые линии радиальных световых лучей. Они определяются из (2.4.3) условием

Положение световых конусов на рис. 1 сразу показывает, почему сфера Шварцшильда играет особую роль в системе отсчета Шварцшильда и вообще в сферическом поле тяготения. Дело в том, что при мировые линии (здесь и далее мы считаем лежат внутри светового конуса, т.е. они времениподобны; линия совпадает с мировой линией фотона, т.е. светоподобна; наконец, при мировые линии пространственноподобны.

Вот почему система Шварцшильда, образованная частицами с не может быть продолжена при

Рассматриваемая ситуация оказывается характерной для общей теории относительности и отличает ее от обычной теории поля в плоском пространстве. Для решения уравнений Эйнштейна необходимо выбрать определенные координаты. С этой целью обычно вводятся дополнительные условия, фиксирующие вид метрики. При этом из-за возможной сложной глобальной структуры пространства-времени в общей теории относительности (например, нетривиальной его топологии) нельзя, вообще говоря, гарантировать, что выбранные координаты покрывают все пространство-время. Именно с этой ситуацией мы столкнулись выше, при попытке описать полное сферически-симметричное пространство-время в координатах кривизны (2.1.2). Общий прием, позволяющий установить, действительно ли полученное решение описывает все пространство-время или только часть его, состоит в изучении поведения пробных частиц и лучей света. Если за конечное собственное время (или при конечном значении аффинного параметра для фотонов) некоторые из частиц достигают «границы» выбранной координатной системы, а физические особенности в этих «конечных» точках траекторий частиц отсутствуют, то эта координатная система неполна. Изменив координатные условия и перейдя к метрике (2.4.1), нам удалось покрыть

большую область пространства-времени и, в частности, описать возможные события, происходящие под гравитационным радиусом. Обсуждение вопроса о том, является ли координатная система Леметра действительно полной и описывает ли метрика (2.4.1) все пространство-время, мы отложим до § 2.7, а пока вернемся к обсуждению свойств сферы Шварцшильда и области пространства-времени, лежащей внутри нее. [Общее обсуждение затронутых вопросов см. Хокинг, Эллис (1973).]

Самая примечательная особенность сферы Шварцшильда заключается в следующем. Из точек с луч света, идущий наружу (направо на рис. 1), движется к все большим и уходит на пространственную бесконечность. Для точек с оба луча (и идущий налево, и идущий направо) движутся к все меньшим не уходят на пространственную бесконечность, а ”упи-раются” в сингулярность Мировая линия любой частицы обязана лежать внутри светового конуса. Поэтому при все частицы обязаны двигаться к это есть направление в будущее. Движение к большим в области невозможно [см. Финкельштейн (1958)]. Подчеркнем, что сказанное относится не только к свободно падающим частицам (т.е. движущимся по геодезическим) но и к частицам, имеющим любое ускорение. Никакое излучение, никакие частицы не выходят к далекому внешнему наблюдателю из-под сферы Шварцшильда.

Мы определили в так, чтобы т.е. как радиальную координату в системе координат кривизны [см. (2.1.1)]. Так же формально определяется и внутри сферы Шварцшильда, хотя здесь линия пространственноподобна и не может служить радиальной пространственной координатой. При величина всегда зависит от времени, притом монотонно в любой системе, определяемой соотношениями (2.1.3) — (2.1.5). Все системы отсчета при нестатичны, оба радиальных луча света идут только к меньшим (а значит, к меньшим Области пространства-времени с таким свойством называют Тобластями [Новиков (1962а, 1964а) Область пространства-времени вне сферы Шварцшильда называют -областью.

Дадим более точное определение -областей. Рассмотрим пространство-время со сферической симметрией. При этом оно может содержать материю или быть пустым. По определению сферически-симметричного поля тяготения его метрика всегда может быть записана в виде (2.1.2). Если в окрестности рассматриваемой точки мировая линия времениподобна, то эта точка принадлежит А-области. Если эта линия пространственно подобна, то рассматриваемая точка принадлежит -области.

Вернемся к случаю сферически-симметричного поля тяготения в вакууме.

Помимо уже рассмотренной системы отсчета Леметра, для исследования областей как внутри, так и снаружи сферы Шварцшильда используются и другие системы отсчета. Здесь и в дальнейших параграфах мы приведем некоторые из них.

Прежде всего обратимся снова к системе координат (2.2.1). На сфере Шварцшильда эта система, как мы показали в § 2.2, сингулярна. Но при строго меньшем метрические коэффициенты опять регулярны. Имеет ли эта система какой-либо прямой физический смысл при

Оказывается, имеет [Новиков (1961]. Координата теперь не может быть, как показано, выше, радиальной пространственной координатой. Однако она может играть роль временной координаты, что прямо следует из выражения (2.2.1), где коэффициент при меняет знак при переходе через сферу Шварцшильда и при отрицателен. С другой стороны, координата теперь может служить пространственной радиальной координатой, коэффициент при положителен для Таким образом, координаты при поменялись ролями. Поменяем обозначения и перепишем (2.2.1) в виде

Система отсчета может быть осуществлена свободными пробными частицами, движущимися по геодезическим внутри сферы Трехмерное сечение имеет бесконечную пространственную протяженность по координате а вдоль координат в и оно замкнуто и является в целом топологическим произведением сферы на прямую. Трехмерный объем этого сечения бесконечен. Система нестационарна, она сжимается вдоль и (радиус сферы уменьшается от до 0) и расширяется вдоль Собственное время ее существования конечно:

Мировые линии частиц образующих систему, показаны на рис. 2 в координатах Леметра (2.4.3). Из рисунка видно, что частицы движутся внутри сферы Шварцшильда и система ни в коем случае не

Рис. 2. Мировые линии частиц образующих систему отсчета (2.4.9) в координатах Леметра

Рис. 3. Пространство-время Шварцшильда в координатах Эддингтона - Финкельштейна (2.4.12): мировые линии фотонов, падающих к 3 - мировые линии фотонов, движущихся в противоположном (по сравнению с направлении

ляется продолжением системы Шварцшильда для мировые линии показаны на том же рисунке). Время и пространственное радиальное направление в этих системах своеобразно меняются местами.

Приведем теперь систему отсчета, которая исторически была первой из построенных систем, не имеющих особенностей на [Эддингтон (1924), Финкельштейн (1958)]. Эта система связана с фотонами, свободно движущимися по радиусу. Уравнение движения фотонов определяется выражением (2.3.3). Для фотонов, движущихся к центру, уменьшается с ростом Выражение (2.3.3) для таких фотонов можно переписать в виде

Здесь V — константа, характеризующая радиальную координату фотона для фиксированного момента

В выражении (2.4.11) под логарифмом поставлен знак модуля, что обеспечивает применимость выражения и при Если мы возьмем множество фотонов при фиксированном и припишем каждому фотону номер V, который в дальнейшем не меняется при движении фотона, то подобно тому, как в случае нерелятивистской частицы [см. мы выбирали гл в качестве новой радиальной координаты, здесь можно выбрать V в качестве другой новой координаты. Правда, есть и существенное отличие — никакой наблюдатель не может двигаться вместе с фотоном и в этом смысле новая система не подходит, строго говоря, под определение системы отсчета. Но в некоторых случаях такая «система» из пробных фотонов бывает удобна. Надо только всегда помнить, что V — световая координата (не пространственная и не временная). В качестве второй координаты можно выбрать прежнюю координату Тогда, дифференцируя (2.4.11) и подставляя получающееся выражение для в (2.2.1), находим

Выражение (2.4.12) регулярно на Действительно, коэффициент при обращается в нуль на но наличие члена обеспечивает невырожденность этой системы координат. Пространство-время в координатах изображено на рис. 3; при этом учтено, что система неортогональна и координатные линии образуют между собой постоянный угол 45° (на плоскости ).