§ 4.3. Хронометрическая система отсчета и система отсчета локально невращающихся наблюдателей

Рассмотрим прежде всего геометрические свойства нашего «абсолютного» пространства. Они описываются трехмерной метрикой, получающейся из (4.2.1), если положить В этом трехмерном «абсолютном» пространстве в фиксированный момент единого «времени» можно рассматривать распределение трехмерных векторных полей, вычислять, например, трехмерную дивергенцию векторного поля и т.д. Изменение вектора А со «временем» в фиксированной точке «абсолютного» пространства дается производной

Рассмотрим теперь систему отсчета наблюдателей, которые покоятся в «абсолютном» пространстве т.е. неподвижно «сидят» на нашей жесткой, недеформирующейся решетке. Эту систему называют хронометрической [Владимиров (1982)], лагранжевой [Торн, Макдональд (1982) и Макдональд, Торн (1982)] или киллинговой. Посмотрим, какие силы, вызванные наличием вращающейся черной дыры, действуют в этой системе.

Трехмерные компоненты вектора ускорения в координатах [ускорение «свободного падения»; см. определяются выражениями

Все величины в данной хронометрической системе отсчета мы будем обозначать с тильдой, чтобы не путать с величинами, используемыми в дальнейшем.

Физические компоненты ускорения суть

Система отсчета наших наблюдателей жесткая, в ней тензор скоростей деформации [см ] равен нулю:

Тензор угловой скорости вращения есть

Отличие тензора А от нуля означает, что гироскопы, покоящиеся в нашей системе отсчета, прецессируют относительно нее, а значит, и относительно далеких объектов, так как наша жесткая система вдали переходит в лоренцеву. Тензор пропорционален удельному угловому моменту черной дыры и отражает наличие «вихревого» гравитационного поля, вызванного ее вращением.

Подчеркнем следующее важное отличие внешнего поля черной дыры с вращением от случая без вращения.

Если черная дыра не враийется, условие означает физическую одновременность во всем внешнем пространстве для наблюдателей, в нем покоящихся (относительно жесткой системы отсчета). В случае вращающейся черной дыры наличие компоненты в жесткой системе отсчета не позволяет, как известно [см. Ландау, Лифшиц (1973)], ввести в ней понятие одновременности. Обычно о событиях, для которых одинаково, говорят как об одновременных по времени далекого наблюдателя. Но это вовсе не означает физической одновременности, определяемой синхронизацией часов путем посылки и приема световых сигналов.

Примечательно, что компоненты и компоненты и вычисленная с их помощью угловая скорость прецессии гироскопа [см. ] обращаются в бесконечность, а компонента в (4.2.1) (определяющая темп течения времени) обращается в нуль при

или при где определяется соотношением

Указанные свойства означают, что в этом месте в системе отсчета имеется физическая особенность, и продолжить систему отсчета ближе к черной дыре нельзя, т.е. невозможно, чтобы наблюдатели покоились относительно нашей сетки. Причина этого формально та же, что и в поле Шварцшильда на мировая линия наблюдателя перестает быть времениподобной, что видно из смены знака при Однако имеется существенная разница по сравнению с полем Шварцшильда.

В невращающейся черной дыре при чтобы получить мировую линию, лежащую внутри светового конуса, достаточно было сделать преобразование

Тогда при подходящем выборе линия будет времениподобна. Это означает, что при тела обязаны двигаться по радиусу к центру, граница изолированной черной дыры.

В случае вращающейся черной дыры при [мы считаем см. (4.2.1)] преобразование вида (4.3.7) не позволяет получить времени-подобную мировую линию. Однако преобразование вида

позволяет это сделать зависит от и в). Этот факт означает, что при все тела обязаны участвовать во вращении вокруг черной дыры (в сторону, определяемую знакома; см. далее) относительно жесткой координатной сетки, простирающейся до бесконечности. Что же касается движения по радиусу то в области тела могут двигаться как с уменьшением, так и с увеличением

Таким образом, предел статичности в случае вращающейся дыры имеет совсем другую природу, чем в поле Шварцшильда. Здесь тела неизбежно вовлекаются во вращение, но не горизонт событий, так как из этой области можно выйти наружу. Горизонт событий в метрике (4.2.1) находится при т.е. при где

Область называют эргосферой.

Таким образом, жесткая статическая (неподвижная по отношению к далекому наблюдателю) система отсчета из материальных тел не простирается до Предел статичности расположен вне горизонта и совпадает с ним на полюсе (рис. 30). Важной особенностью статической системы отсчета является, как сказано выше, прецессия в ней гироскопов. Наша система в каждой своей точке вращается относительно местной лоренцевой системы. Разумеется, это отражает тот факт, что вращение черной дыры меняет состояние движения локальных лоренцевых систем, увлекая их во вращение вокруг черной дыры. Качественно это явление давно известно теории уже в случае слабого поля тяготеющего вращающегося тела [Тирринг, Лензе (1918)].

Введем теперь во внешнем поле вращающейся черной дыры систему отсчета, которая в указанном смысле не вращается относительно местной лоренцевой системы. Эта система получила название системы отсчета локально невращающихся наблюдателей. Конечно, такая система не может быть уже жесткой. С этой целью проведем конгруэнцию мировых линий, всюду ортогональных выбранным нами пространственным сечениям Эти времениподобные линии по определению лишены кручения и образуют искомую систему отсчета.

Рис. 30. Вращающаяся черная дыра: 1 - горизонт, 2 - эргосфера, 3 - предел статичности

Наблюдатели, покоящиеся в ней, называются локально невращающимися наблюдателями [иногда эту систему отсчета также называют эйлеровой; см. Торн, Макдональд (1982)]. Такие наблюдатели движутся относительно сетки системы Бойера — Линдквиста, т.е. движутся в «абсолютном» пространстве. Это движение происходит при постоянных с постоянной (повремени) угловой скоростью по Если определять угловую скорость со по универсальному времени (время далекого покоящегося наблюдателя), то

берутся из (4.2.1).

Если же измерять угловую скорость по часам самого движущегося наблюдателя, то

Линейная физическая скорость движения локально невращающихся наблюдателей относительно жесткой системы есть

Как и следовало ожидать, эта скорость обращается в скооость света на пределе статичности и превосходит ее в эргосфере.

Подчеркнем еще раз, что собственное время локально невращающихся наблюдателей отличается от универсального «времени” t. Связь между ними дается функцией «длительности” а:

Приведем выражения для вектора ускорения свободного падения в системе локально невращающихся наблюдателей:

где

Вектор связан с а соотношением

Тензор скоростей деформации системы записывается в виде

а тензор

Рассматриваемая система отсчета не имеет никаких особенностей на пределе статичности и продолжается в эргосфаре вплоть до границы черной дыры При помимо вращения вокруг черной дыры, необходимо происходит еще и падение по Система локально невращающихся наблюдателей при имеет физическую особенность: при [см. формулу (4.3.14)]

При приближении к горизонту событий угловая скорость обращения локально невращающихся наблюдателей стремится к пределу:

Этот предел постоянен на горизонте и не зависит от в. Его называют угловой скоростью вращения черной дыры (или горизонта)

На пространственной бесконечности система отсчета локально невращающихся наблюдателей переходит в ту же самую лоренцеву систему отсчета, что и система Бойера — Линдквиста (хронометрическая система).

В заключение параграфа остановимся на вопросе о «вращении” локально невращающихся наблюдателей и о прецессии гироскопов в системе отсчета, связанной с этими наблюдателями.

С одной стороны, система отсчета таких наблюдателей выбрана невращающейся, т.е. так, что Это значит, что отсутствует поворот системы относительно локально лоренцевой системы отсчета, а значит, и

прецессия гироскопа в системе отсчета локально невращающихся наблюдателей. С другой стороны, например, в книге Мизнера, Торна, Уилера (1973) говорится, что гироскопы прецессируют по отношению к локально невращающимся наблюдателям с угловой скоростью

где единичные векторы вдоль соответственно, а величины берутся из выражения (4.2.1). Как совместить оба эти утверждения?

Парадокс разрешается следующим образом. Напомним, что движение малого элемента произвольной системы отсчета относительно локально сопутствующей лоренцевой системы состоит в повороте вокруг мгновенной оси вращения и деформации вдоль главных направлений тензора скоростей деформации.

Рис. 31. Поворот диагонали при анизотропной деформации элемента объема вдоль направлений и

Если поворота нет то дело сводится только к деформации. Гироскоп, центр масс которого неподвижен в системе отсчета, при этом не прецессирует относительно главных направлений тензора скоростей деформации. Если вдоль этих направлений провести линии, сопутствующие системе отсчета («приклеенные” к ней), то гироскоп не изменит своей ориентации по отношению к ним. Однако это вовсе не значит, что при этом гироскоп не меняет ориентацию по отношению к любой линии, проведенной в данном элементе объема и сопутствующей системе отсчета. В самом деле, из рис. 31 видно, что при анизотропной деформации линии, наклоненные, например, под углом 45° к главным направлениям тензора деформации и «приклеенные” к системе отсчета, поворачиваются, приближаясь к направлению наибольшего расширения. По отношению к этим линиям гироскоп прецессирует, хотя Именно эта ситуация и имеет место в случае локально невращающихся наблюдателей в метрике Керра.

Рассмотрим локально невращающихся наблюдателей в экваториальной плоскости. Везде согласно формулам (4.3.16), отличной от нуля является лишь компонента Это значит, что мгновенные ориентации главных осей тензора деформации направлены под углом 45 к векторам Заметим, что координатные линии «приклеены” к системе отсчета. Гироскоп не поворачивается по отношению к главным осям, но,

согласно предыдущему замечанию, поворачивается по отношению к координатной линии у, а значит, и к (и, следовательно, к перпендикулярному к нему вектору который не «приклеен” к системе отсчета; см. далее).

Итак, если локально невращающийся наблюдатель все время будет ориентировать свой репер вдоль направлений то гироскоп будет прецессировать по отношению к этому реперу согласно формуле (4.3.18), несмотря на то, что в системе наблюдателя Репер естественный; прецессию гироскопа следует определять по отношению к нему, ибо он определяется симметрией пространства вокруг наблюдателя. Но можно ввести и другой репер, например репер, который также связан с локально невращающимся наблюдателем, но не поворачивается относительно мгновенно сопутствующей лоренцевой системы. В таком репере гироскопы, конечно, не прецессируют.

Заметим, наконец, что если в некоторый момент выбрать одну систему координатных линий, «приклеенных” к локально невращающимся наблюдателям и направленных строго по а другую систему — по у, то с течением времени координатные линии по у будут скользить вдоль самих себя в «абсолютном” пространстве, а линии, бывшие им перпендикулярными, будут «наматываться” на черную дыру, превращаясь в спирали, так как станут увлекаться более быстрым движением наблюдателей, ближе расположенных к черной дыре, т.е. эти линии будут поворачиваться по отношению к линиям