§ 8.3. Сдвиг собственной энергии заряженной частицы в поле черной дыры

В этом параграфе мы рассмотрим эффект изменения собственной энергии заряженной частицы при помещении ее в сильное статическое гравитационное поле. Этот эффект состоит в следующем. Полная масса заряженной частицы складывается из ее «механической” массы, локализованной в точке, где находится заряд, и «электромагнитной” массы, распределенной по области, где отлично от нуля электромагнитное поле. При помещении заряженной частицы в неоднородное гравитационное поле последнее по-разному действует на «локальную” и «распределенную” массы, вызывая «деформацию” электрического ноля заряда, что приводит к дополнительному изменению собственной энергии. Поскольку это изменение зависит от положения тела, то силы, действующие в гравитационном поле на частицы с одинаковой полной инертной массой в случае, когда одна из частиц заряжена, а другая нейтральна, отличаются друг от друга.

Впервые вопрос о влиянии гравитационного поля на собственную энергию электрического заряда рассматривался Ферми (1921). Им был исследован случай, когда электрический заряд покоится в однородном гравитационном поле, и показано, что электромагнитное взаимодействие, вызывающее изменение инертной массы частицы, одновременно вызывает точно такое же изменение ее гравитационной массы, что находится в полном соответствии с принципом эквивалентности. Для неоднородного гравитационного поля аргументы, основанные на принципе эквивалентности, при рассмотрении системы в целом неприменимы, и, вообще говоря, следует ожидать, что соотношение между собственной энергией заряженной частицы и изменением ее гравитационной массы будет носить более сложный характер.

Для частицы, находящейся в поле черной дыры, это действительно так, и соответствующие яоправки (в приближении были найдены Виленкиным (1979а). Там же было показано, что эффект неоднородности гравитационного поля приводит к появлению дополнительной силы выталкивания заряда в направлении от черной дыры. Еще раньше Унру (1976а) показал, что аналогичная сила действует на пробный заряд, помещенный внутри тонкой полой массивной оболочки.

Смит, Уилл (1980) и Фролов, Зельников (1980) обратили внимание на то, что величина сдвига собственной энергии электрического заряда в поле шварцшильдовской черной дыры допускает точное вычисление, и вычислили величину дополнительной силы выталкивания. Этот результат позднее был обобщен на случай черных дыр Рейсснера - Нордстрема [Зельников, Фролов (1982)], Керра [Лейт-Лине (1982)] и Керра — Ньюмена [Лохья (1982)].

Для вычисления величины сдвига собственной энергии заряда в поле черной дыры мы предположим, что классическая частица, т. е. система связанных электрических зарядов, покоится на оси симметрии в стационарном гравитационном поле и удерживается соответствующим образом выбранной внешней силой. Обозначим через векторное поле Киллинга, времениподобное на бесконечности и нормированное там условием Тогда энергия такой системы равна

где полный метрический тензор энергии-импульса системы. Для определенности будем рассматривать в качестве модели заряженной частицы жесткую непроводящую тонкую сферу массы и радиуса по поверхности которой распределен заряд Имея в виду дальнейший переход к пределу точечной частицы, будем считать, что значительно меньше характерных размеров неоднородностей гравитационного и внешнего электромагнитного полей, и в окончательном ответе будем пренебрегать членами

Полная энергия частицы складывается из 1) части энергии, связанной с «механической» массой частицы 2) собственной энергии, т.е. энергии самодействия заряда частицы; 3) энергии взаимодействия частицы с внешним полем; 4) энергии того дополнительного взаимодействия, которое обеспечивает устойчивость заряженной частицы. Введение дополнительного взаимодействия обусловливает выполнимость теоремы Лауэ. Если обозначить через равновесный радиус незаряженной частицы, то и за счет выбора достаточно большой величины эффективной жесткости К изменения (вызванные внесением заряда в поле) равновесного размера и энергии можно сделать сколь угодно малыми. В дальнейшем будем пренебрегать величинами считая, что жесткость К выбрана соответствующим образом. Включив в постоянную величину запишем выражение для полной энергии частицы в виде разложения по степеням заряда частицы:

Вдали от тяготеющих тел в отсутствие внешнего поля формула (8.3.2) сводится к следующему выражению:

где Отличие от обусловлено энергией, заключенной в поле, создаваемом зарядом. При внесении незаряженной частицы в статическое гравитационное поле ее энергия в результате совершенной работы уменьшится и станет равной Если же частица заряжена, часть совершаемой работы идет на перестройку

создаваемого ею поля. В результате не совпадает, вообще говоря, с

Выражение для можно записать в виде

где

а - напряженность поля, создаваемая током

описьшающим распределение зарядов частицы. Здесь инвариантное расстояние точки от точки центра заряженной частицы, вычисленное вдоль геодезической, соединяющей эти точки, инвариантный размер частицы. Интегрирование в (8.3.4) проводится по пространственноподобной поверхности 2, пересекающей горизонт Заметим, что интеграл (8.3.4) по части 2, расположенной внутри горизонта событий, представляет собой энергию поля, находящегося внутри черной дыры, и соответствующий вклад входит как часть в определение полной массы черной дыры. Поэтому, интересуясь вычислением сдвига энергии в поле заданной черной дыры, будем считать параметры последней фиксированными и, в соответствии с этим, интегрирование в (8.3.4) вести по части 2, лежащей вне черной дыры.

Используя уравнения Максвелла

можно преобразовать выражение (8.3.5) к виду

С помощью теоремы Стокса интеграл от выражения в скобках в правой части этой формулы можно свести к сумме интеграла по поверхности черной дыры и интеграла по бесконечно удаленной поверхности. Из-за быстрого убывания полей на бесконечности второй из этих интегралов обращается в нуль. Нетрудно убедиться, что для частицы, расположенной на оси симметрии, и первый интеграл (по поверхности черной дыры) также равен нулю. Таким образом, если учесть параллельность и окончательно имеем

Чтобы получить явное аналитическое выражение для можно воспользоваться выражением для потенциала создаваемого точечным зарядом, расположенным на оси вращения в пространстве-времени Керра, найденным Лине (1977а). Получаемое при этом выражение для имеет

Если сравнить силу, необходимую для того, чтобы удержать такую частицу в точке с силой, которая требуется для этого в случае нейтральной частицы с массой то их разность

Эта избыточная сила действующая на заряженную частицу, направлена по оси симметрии в сторону от черной дыры.

Если заряженная скалярным, электрическим или гравитационным зарядом) частица покоится вблизи вращающейся черной дыры вне оси симметрии, то на нее действует дополнительная сила [Гальцов (1982)]. Эта Сила пропорциональна угловому моменту черной дыры и квадрату заряда частицы. Она возникает как реакция на приливное воздействие, оказываемое частицей на черную дыру и стремящееся затормозить ее вращение. Эта сила исчезает, если частица вращается с той же угловой скоростью, что и черная дыра, или находится на оси симметрии.