§ 2.3. Радиальное движение пробных частиц в поле Шварцшильда

Рассмотрим прежде всего движение вдоль радиуса фотона, всегда летящего с фундаментальной скоростью с. Практически по тому же закону будет двигаться любая ультрарелятивистская частица. Для такой частицы Для радиального движения Подставляя в находим закон движения

Напомним, что это скорость изменения координаты с течением времени далекого наблюдателя (а не физического времени в данной точке), т.е. это координатная, а не физическая скорость. Физическая скорость есть изменение физического расстояния [см. (2.2.2)] с физическим временем [см. (2.2.5)]: Разумеется, физическая скорость фотона (в любой системе отсчета) всегда равна с.

С точки зрения далекого наблюдателя (по его часам) изменение физического радиального расстояния с течением есть

Таким образом, для далекого наблюдателя луч вблизи движется медленнее, при имеем Разумеется, это отражает замедление течения времени вблизи см. (2.2.5).

Сколько времени по часам далекого наблюдателя понадобится фотону, чтобы, двигаясь по радиусу от достигнуть Проинтегрируем для этого уравнение (2.3.1):

Здесь положение фотона в момент Выражение (2.3.3) показывает, что при С какого бы ни начинал свое падение фотон, по часам далекого наблюдателя время достижения фотоном бесконечно.

Как изменяется энергия фотона при движении по радиусу? Энергия пропорциональна частоте. Рассмотрим изменение частоты. Пусть в некоторой точке с происходят вспышки с интервалом Так как поле статично, то эти вспышки придут к наблюдателю с с тем же интервалом Интервалы собственного времени в этих двух точках относятся как а частоты следовательно, относятся как

Частота кванта уменьшается при выходе из поля тяготения и увеличивается

при движении к центру. Это явление называют соответственно красным и фиолетовым гравитационным смещением.

Рассмотрим радиальное движение нерелятивистских частиц в вакууме. Исследуем сначала свободное движение, когда на частицу не действуют никакие негравитационные силы (свободное падение, движение по геодезической линии). Интегрирование уравнения для геодезических в случае [см. Богородский (1962] приводит к выражению

Здесь константа движения, описывающая полную энергию частицы, включая ее массу покоя Если частица покоится вне поля тяготения на бесконечности, то В общем случае величина может быть и больше и меньше единицы, но для частицы вне сферы радиуса всегда положительна.

На больших расстояниях для нерелятивистских частиц и выражение (2.3.5) переписывается в виде

Величина является энергией частицы в ньютоновской теории (где в энергию не включается масса покоя), и все выражение (2.3.6) приобретает вид закона сохранения энергии в ньютоновской теории.

Напомним снова, что в выражении это координатная (не физическая) скорость. Физическая скорость, измеряемая неподвижным в системе Шварцшильда наблюдателем, находящимся рядом со свободно движущимся телом, есть

Если падающее тело приближается к то физическая скорость все время нарастает, и при имеем . Скорость по часам далекого наблюдателя стремится к нулю при как и в случае движения фотона. Этот факт отражает замедление течения времени при

Сколько времени длится падение тела от некоторой точки с до гравитационного радиуса по часам далекого наблюдателя?

Время движения от до определяется интегрированием выражения (2.3.5). Интеграл расходится при Результат этот неудивителен, так как даже для света при а быстрее света ничто двигаться не может. Более того, характер расходимости для падающего тела такой же, как для фотона, ибо при скорость тела всегда стремится к с. Очевидно, что, какие бы силы не действовали на частицу, время достижения всегда будет бесконечным, ибо и в этом случае всегда Таким образом, и свободное падение, и движение к с любым ускорением всегда длятся бесконечное время по часам далекого наблюдателя.

Вернемся к свободно летящей частице. Каково время достижения по часам на самой падающей частице? Оно находится по формуле где берется вдоль мировой линии частицы. Подставим

выражение из и получим

Для вычисления подставляем в из (2.3.5). Легко показать, что интеграл сходится, интервал конечен. Для частного случая когда частица падает с параболической (второй космической) скоростью (т.е. при получаем для времени падения от

Мы видели, что для далекого наблюдателя время падения частицы бесконечно, по часам же на самой частице конечно. С физической точки зрения этот неожиданный на первый взгляд результат можно интерпретировать следующим образом. Часы на падающей к частице замедляют свой ход по отношению к часам на бесконечности: во-первых, из-за замедления хода времени в гравитационном поле (2.2.5), а во-вторых, из-за лоренцева сокращения времени, когда их скорость при Поэтому бесконечный по интервал становится конечным по