§ 5.5. Ловушечные поверхности, горизонты видимости, R- и T-области

Границей черной дыры является горизонт событий На первый взгляд определение черной дыры, как области внутри горизонта событий, вполне естественно. Однако, если рассмотреть процессы, которые могут происходить при возникновении черной дыры или в течение ее последующей эволюции, то станет ясным, что это определение в действительности описывает несколько не то, что вначале предполагалось.

В самом деле, представим себе, что в сферическую черную дыру массы спустя некоторое время после ее образования падает сферическая оболочка массы (рис. 56). Казалось бы, до падения массы границей черной дыры был гравитационный радиус а после падения граница расширится и будет . В действительности утверждение, что до падения границей черной дыры была поверхность неправильно. Ведь после падения внутрь сферы радиуса нулевые геодезические, шедшие вдоль под действием возросшего тяготения станут сходиться и уйдут в сингулярность (см. рис. 56). Эти геодезические не являются границей области, откуда лучи не уходят в бесконечность. Область эта шире, ее границей являются лучи А, показанные на рисунке. До падения массы они шли снаружи от удаляясь, несколько расходились. Если бы не упала, они бы ушли на бесконочть Но падение устраняет их расходимость, заставляя идти вдоль

Таким образом, граница черной дыры определяется не только какими-то особенностями пространства-времени в данный момент (скажем, сильное поле в какой-то области), но и всей будущей историей (упадет ли масса или не упадет и т.д.). Задача нахождения горизонта событий является задачей с конечными, а не с начальными условиями.

Еще более разительна следующая ситуация. Вспомним процесс возникновения сферической черной дыры (рис. 57). Мы знаем, что (и, стало быть, черная дыра) возникает в момент до того как звезда сожмется до гравитационного радиуса Но представим себе, что в момент между звезда взорвется и ее вещество разлетится в бесконечность,

Рис. 56, Нестатическая сферически-симметричная черная дыра

Рис. 57. Положение горизонта событий в данный момент времени зависит от всей последующей эволюции системы. При сферическом коллапсе, приводящем к образованию черной дыры горизонт событий образуется в момент времени Взрыв коллап сирую щей звезды, происходящий после может привести к тому, что горизонт событий не образуется вовсе (6)

т.е. черная дыра вообще не образуется (рис. 57b)). Конечно, говорить, что черная дыра существовала в период от до взрыва, было бы неверно, ибо горизонта в этом примере вообще не существует.

Итак, граница ограничивает не столько область с особо сильным полем тяготения (хотя, конечно, сильное поле необходимо, иначе не возникнет), сколько область,обладающую свойствами, особыми глобально, а именно — из этой области лучи не уходят в бесконечность. Именно это свойство — невидимость из бесконечности, невозможность выбраться из нее частицам и лучам света — и служит основанием назвать эту область черной дырой. Кроме того, горизонт событий образован нулевыми геодезическими, для них можно сформулировать ряд сильных теорем (часть из них приведена выше) — это еще одна причина для выбора в качестве определения границы черной дыры.

Но возникает вопрос: существуют ли внутри черной дыры какие-либо свойства пространства-времени, которые в данный момент времени (т.е. на данном пространственном сечении) качественно отличались бы от свойств

Рис. 58. Положение локальных световых конусов снаружи и внутри черной дыры, Поверхности внутреннего и внешнего (5а) фронтов излучения, испущенного нормально к двумерной поверхности 50 внутри черной дыры, имеют площади, меньшие, чем площадь

Рис. 59. Пример некомпактной двумерной поверхности в пространстве Минковского, для которой оба ортогонально выходящих семейства световых лучей являются сходящимися. Такая поверхность не является ловушечной

области вне черной дыры и тем самым позволяли сказать, что черная дыра существует в данный момент — без обращения к изучению всей бесконечной будущей истории мира? Мы сейчас увидим, что такие особые свойства, вообще говоря, существуют.

Как уже отмечалось при описании сферического коллапса, о попадании коллапсирующего тела внутрь черной дыры можно судить по результатам следующего мысленного эксперимента. Пусть поверхность коллапсирующего тела в определенный момент вспыхивает. Если тело прозрачно, то через малый промежуток времени снаружи и внутри него имеются две поверхности, отвечающие положению фронта внешней и внутренней световой волны. Для ситуации внутри черной дыры характерно то, что площадь поверхности как внутреннего, так и внешнего фронта убывает со временем, а световые лучи, им ортогональные, сближаются. Поле тяготения внутри черной дыры настолько сильно/что заставляет даже лучи, вышедшие наружу от коллапсирующего тела, падать к центру (положение световых конусов внутри черной дыры показано на рис. 58).

В общем случае подобные замкнутые ориентируемые гладкие двумерные пространственноподобные поверхности, для которых оба семейства ортогональных к ним световых геодезических сходятся называют ловушечными поверхностями. Наличие ловушечной поверхности свидетельствует о том, гравитационное поле в области, где проходит поверхность, очень сильное. В асимптотически плоских пространствах (с асимптотически предсказуемым будущим) ловушечную поверхность нельзя увидеть с

если только не нарушается слабое энергетическое условие [Хокинг, Эллис (1973)]. Иными словами, ловушечные поверхности лежат внутри черных дыр, и их существование свидетельствует о возникновении черной дыры.

Таким образом, наличие ловушечной поверхности есть условие, достаточное для существования черной дыры в данный момент времени. Мы увидим далее, что это условие не является необходимым. Следует отметить, что в определении ловушечной поверхности весьма существенно требование ее замкнутости. Такая поверхность, окружающая центр тяготения, сжимается под его действием, образно говоря, столь стремительно, что это приводит к указанной особенности (сходимости) даже для лучей света, выходящих наружу от нее. Если же не требовать замкнутости, то остальные свойства ловушечной поверхности можно реализовать даже без всякого тяготения в плоском мире Минковского. Так, пересечение двух световых конусов Прошлого для точек в пространстве-времени Минковского (рис. 59) дает двумерную пространственноподобную поверхность с требуемыми свойствами, которая, однако, не является замкнутой.

Для решения многих вопросов, связанных с распространением сигналов в поле черных дыр, оказывается достаточным проследить за поведением выходящего излучения. Поэтому оказывается удобным следующее определение: внешней ловушечной поверхностью называют компактную ориентируемую пространственноподобную поверхность, обладающую тем свойством, что расходимость выходящих ортогонально к ней световых геодезических неотрицательна Это определение подразумевает, что имеется возможность инвариантным образом определить, какое из двух семейств ортогональных поверхности световых лучей является выходящим.

Пусть рассматриваемая ловушечная поверхность возникает в результате эволюции системы, начальные данные для которой заданы на поверхности Коши (рис. 60). Предположим для простоты, что 2 имеет топологию Рассмотрим произвольную конгруэнцию гладких времениподобных линий (существование таких конгруэнций можно гарантировать по крайней мере в области Коши будущего поверхности 2) [Хокинг, Эллис

Рис. 60. Иллюстрация к определению внешней ловушечной поверхности

(1973)]. Отдельные кривые конгруэнции можно рассматривать как мировые линии локальных наблюдателей. Если проследить в прошлое за линиями конгруэнции, проходящими через поверхность то точки пересечений этих линий с поверхностью Коши определяют на ней замкнутую ориентируемую поверхность Для этой поверхности уже не представляет труда определить направление наружу. Например, можно рассмотреть любую гладкую кривую начинающуюся на и выходящую на пространственную бесконечность. Тогда вектор при определяет направление наружу в точке Поскольку поверхность образованная линиями конгруэнции, проходящими через является ориентируемой, то задание в одной ее точке внешнего направления определяет внешнее направление в каждой из ее точек и, в частности, для точек исходной поверхности Подобное определение является инвариантным, и его можно обобщить на случай асимптотически предсказуемых пространств [Хокинг, Эллис (1973)].

Будем говорить, что точка лежит в ловушечной области (сокращенно -области) если существует внешняя ловушечная поверхность, проходящая через эту точку. В важном частном случае сферически-симметричных пространств точка принадлежит ловушечной области, если выполнено условие

На рис. 61а показано расположение -области для простейшего случая коллапса сферического облака пыли без какого-либо последующего падения вещества в черную дыру. Ввиду важности этого понятия то же пространство-время еще раз изображено на рис. в координатах Леметра. Внутри пылевого шара метрику можно записать в виде

при этом границе шара соответствует Вне шара, в пустоте, метрика выглядит следующим образом:

Граница -области в веществе описывается уравнением

Эта граница пространственноподобна. Вне вещества, в вакууме, граница - области есть

Эта граница светоподобна.

Внешнюю часть связной компоненты пересечения ловушечной области с пространственноподобной поверхностью называют горизонтом видимости. Горизонт видимости является двумерной поверхностью, для которой выходящие ортогональные световые геодезические имеют нулевую расходимость При выполнении слабого энергетического условия горизонт видимости совпадает с горизонтом событий или лежит внутри него (рис. 62). В стационарных черных дырах горизонт видимости совпадает с горизонтом событий (это, в

Рис. Расположение -области для случая коллапса сферического облака пыли; это же пространство-время в координатах Леметра

Рис. 62. Аккреция вещества на сферическую черную дыру

частности, имеет место для стационарной сферически-симметричной черной дыры; см. рис. 61).

В общем случае лучи, выходящие ортогонально горизонту видимости обладают нулевой расходимостью. В силу уравнения (5.3.22) условие сохраняется вдоль этих лучей до тех пор, пока они не пересекают область, где или этой области становится положительным и, следовательно, световые лучи покидают горизонт видимости, уходя в ловушечную область. Иными словами, внешняя граница -области является световой поверхностью в области, где и становится пространственноподобной поверхностью в области, где и (или) (см. рис. 61). При выполнении слабого энергетического условия вне горизонта видимости всегда имеется горизонт событий. Подчеркнем, однако, что внутри горизонта событий может, вообще говоря, и не быть внешних ловушечных поверхностей. С другой стороны, внутри одной черной дыры может находиться несколько связных компонент ловушечной области. Сказанное проиллюстрировано на рис. 62, где изображена сферически-симметричная черная дыра, которая некоторое время нестационарна из-за падения в нее вещества. Внутри границы (соответственно обозначенной точечным пунктиром, лежит -область. Внешняя граница каждой связной компоненты -области в сечении является горизонтом видимости. В сечении внутри черной дыры (внутри нет -области (нет ловушечных поверхностей). Тем самым -казивается, что наличие ловушечных поверхностей внутри черной дыры в сечении не есть необходимое условие существования горизонта событий. В сечении имеются две связные области 71; при этом внутренний горизонт видимости есть а внешний - Подобная ситуация с образованием нескольких связных компонент -областей может возникнуть, например, при слиянии двух черных дыр.

В дальнейшем окажется полезным также следующее определение: замкнутая ориентируемая гладкая двумерная пространственноподобная поверхность называется антиловушечной -область), если оба семейства ортогональных к ней световых геодезических расходятся Появление -областей характерно для случаев, когда имеются белые дыры (см. гл. 13). Область пространства-времени, лежащую вне и -областей, будем называть -областью.