§ 2.6. Гравитационный коллапс - возникновение черной дыры. Белые дыры

В этом параграфе мы разберем процесс возникновения черной дыры в результате сжатия сферической массы до размеров меньше Чтобы избавиться от эффектов, не имеющих непосредственного отношения к образованию черной дыры и только осложняющих решение, рассмотрим сжатие сферического облака вещества, лишенного давления, (облако пыли). В этом случае не придется рассматривать гидродинамических явлений, связанных с градиентом давления. Все частицы (пылинки) движутся по радиальным геодезическим, подвергаясь действию только гравитационного поля. Решение уравнений Эйнштейна для этого случая было получено Толменом (1934). В приводимом решении система отсчета сопутствует веществу, т.е. пылинки имеют постоянные

Здесь точка - дифференцирование по штрих - дифференцирование по две произвольные функции от (должно выполняться Уравнение (2.6.2) определяет функцию после задания плотность вещества.

Решение Толмена может описывать, например, сжатие пылевого шара конечных размеров. Для описания этого процесса выберем начальный момент Тогда (2.6.4) определит распределение плотности. Если координата определяет границу шара, то вне шара (при Изменение с течением для частиц шара описывается уравнением Из уравнения видно, что каждая частица с фиксированным имеющая за конечное достигает где имеется истинная сингулярность пространства-времени.

Вне шара метрика пространства-времени однозначно определяется массой шара, которая задается значением на его границе Эта метрика в пустоте является метрикой Шварцшильда (см. § 2.2).

Частицы на поверхности шара свободно падают в этой внешней метрике, поэтому их движение может быть представлено как движение по радиальным геодезическим в метрике Шварцшильда [см. (2.3.5)], В частности, можно рассмотреть сжатие шара, частицы на поверхности которого падают с параболической (второй космической) скоростью. Формулы движения таких частиц особенно просты [см. (2.3.9)]. В системе Леметра уравнение мировой линии этих частиц будет Уравнение этой же линии в системе Эддингтона — Финкельштейна дается в параметрическом виде выражениями если в двух последних формулах положить

Рис. 6. Пространство-время сжимающегося шара с образованием черной дыры в координатах Леметра. Область внутри шара заштрихована

Рис. 7. Пространство-время сжимающегося шара с образованием черной дыры в координатах Эддингтона - Финкельштейна

Картина пространства-времени для сжимающегося шара изображена на рис. 6 и 7 в координатах Леметра и Эддингтона — Финкельштейна соответственно. Последний рисунок, где изображена и одна из вращательных степеней свободы, особенно нагляден. Поверхность сжимающегося шара за конечное собственное время достигает сферы Шварцшильда и затем стягивается в точку к Этот процесс называют релятивистским гравитационным коллапсом. В результате коллапса внутри сферы Шварцшильда возникает пространственно-временная область, из которой никакие сигналы не уходят на пространственную бесконечность. Такая область и называется черной дырой. Итак, в результате релятивистского гравитационного коллапса сферического невращающегося тела возникает сферическая черная дыра.

Заметим теперь, что сделанное выше предположение об отсутствии давления ничего качественно не меняет в картине образования сферической черной дыры. В общем случае сжатия шара с давлением картина такая же. Когда поверхность сжимающегося шара приближается к сфере Шварцшильда, никакое давление не может предотвратить возникновение черной дыры [подробно эти вопросы см. Зельдович, Новиков (1971]. К нашей теме эти вопросы непосредственно не относятся, и мы здесь на них не останавливаемся.

В результате гравитационного коллапса внутри сферы Шварцшильда возникает сжимающаяся -область. Это следует из требования

Рис. 8. Расширение шара из-под сферы Шварцшильда в расширяющихся координатах Леметра

Рис. 9. Расширение шара из-под сферы Шварцшильда в координатах Эддингтона - Финкельштейна

непрерывности коэффициента метрики (коэффициента перед угловой пространственной частью) при переходе в фиксированный момент времени со сжимающейся поверхности шара в вакуум. На поверхности сжимающегося шара этот коэффициент уменьшается с течением времени при Значит, вследствие непрерывности он будет уменьшаться со временем и вне шара (при т.е. внутри сферы расположена именно сжимающаяся -область.

При каких условиях возникает расширяющаяся -область? Обратив направление течения времени на рис. 6 и 7, получим рис. 8 и 9. Они изображают расширение шара из-под сферы Шварцшильда. Из условия непрерывности на границе шара теперь следует, что в вакууме — вне шара, но внутри сферы Шварцшильда с находится расширяющаяся -область. Общую ситуацию наглядно иллюстрирует рис. 8. Вспомним, что линия пространственно подобна, т.е. существует система отсчета, в которой все события на этой линии одновременны. Таким образом, нельзя сказать, как это кажется на первый взгляд (см. рис. 8 и 9), что сначала была сингулярность в вакууме, а потом из нее начало расширяться вещество шара. Эти события не связаны времениподобным интервалом. Правильнее сказать, что природа пространственно подобной сингулярйости такова, что она порождает расширение в вакууме (расширяющуюся

-область) правее и расширяющееся вещество шара левее рис. 8). Заметим, что в расширяющуюся -область не может попасть никакой сигнал, никакая частица с пространственной бесконечности (вообще из области с Такие области пространства-времени называют белыми дырами [Новиков (1964b), Нееман (1965)]. Они не могут возникнуть во Вселенной в результате коллапса какого-либо объекта, но в принципе могли бы существовать в расширяющейся Вселенной с самого начала ее расширения. Подробнее этот круг вопросов рассматривается в § 13.2.

В заключение параграфа еще раз подчеркнем, что с математической точки зрения невозможно продолжать решение за истинную сингулярность пространства-времени Таким образом, ОТО не может дать ответа на вопрос, что будет после сжатия до в -области или что было до начала расширения из в -области (и даже сказать, корректна ли постановка таких вопросов). С физической точки зрения ясно, что вблизи существенны квантовые процессы уже для самого пространства-времени (что не описывается ОТО). Мы вернемся к этому в гл. 13.