§ 4.2. «3+1»-расщепление пространства-времени вне черной дыры

Во второй главе исследовались внешнее поле невращаюшейся черной дыры (поле Шварцшильда) и особенности движения частиц в нем. При этом использовалась система отсчета Шварцшильда. Она статична, не зависит от времени и однозначно определена для каждой черной дыры. Ее можно представить в виде решетки, «сваренной” из невесомых твердых стержней. Движение частиц определялось по отношению к такой решетке. При этом в качестве временной переменной мы использовали время наблюдателя на бесконечности. Правда, в каждой точке нашей решетки темп течения физического (собственного) времени не совпадал с темпом течения (время вблизи черной дыры течет медленнее), но такая «параметризация» по была очень удобна. В частности, условие означало одновременность во всей нашей системе отсчета.

В некотором смысле решетка системы отсчета Шварцшильда напоминает абсолютное ньютоновское пространство, в котором движутся тела, абсолютное ньютоновское время, используемое в уравнениях движения.

Конечно, есть существенные отличия. Наше «абсолютное» пространство искривлено (особенно сильно вблизи черной дыры), а «время» не есть физическое время.

Использование именно такой системы отсчета не только удобно для математических выкладок при решении, скажем, уравнений движения, но и обладает большой наглядностью. Мы используем привычные нам понятия ньютоновской физики («абсолютное» жесткое пространство как неизменная сцена, на которой развертываются события, единое время), что помогает работе нашей интуиции. И хотя система Шварцшильда обладает особенностью на мы используем для пространства-времени вне черной дыры именно ее, а не, допустим, систему Леметра, которая не имеет особенности при приближении к но которая везде деформируется.

Разумеется, выбор жесткой системы был возможен только потому, что пространство-время вне черной дыры статично. В общем случае в переменном гравитационном поле такой выбор невозможен, пространственная сетка будет деформироваться с течением времени.

В случае метрики Керра, вращающейся черной дыры, пространство-время вне ее стационарно и возможен выбор неизменной во времени системы координат, асимптотически переходящей в лоренцеву систему на бесконечности. Такой системой координат являются координаты Бойера - Линдквиста (1967). Запишем метрику Керра в этих координатах:

где

а - удельный момент импульса масса черной дыры. В дальнейшем мы будем пользоваться системой единиц, в которой Физический смысл, по-видимому, имеют решения (см. сноску на с. 51).

Свойства внешнего по отношению к черной дыре -мерного пространства в метрике (4.2.1) не меняются с течением времени. Это значит, что существует векторное поле Киллинга (см. Приложение), направленное по линиям времени сдвигая пространственное сечение вдоль которого, мы переходим от одного сечения к точно такому же другому. Таким образом, в пространстве можно «нарисовать» сетку, которая остается неизменной при переходе от одного сечения к другому вдоль векторного поля Киллинга. Переменная время наблюдателя на бесконечности — может служить единым «временем», нумерующим пространственное сечение, как это было в случае пространства-времени Шварцшильда.

Однако имеются существенные различия.

1) В случае поля Шварцшильда, чтобы перейти от одного -мерного сечения к другому с неизменной координатной сеткой, сдвиг делался вдоль временных линий, перпендикулярных пространственному сечению. В поле Керра это не так, и векторное поле Киллинга наклонено к сечению причем для разных — наклон разный.

2) В точках, близких к границе черной дыры (см. с. 56), вектор Киллинга, осуществляющий переход от сечения к сечению, становится пространственноподобным. Это значит, что в таких областях трехмерную

жесткую сетку нельзя осуществить материальными телами («сварить» из прутьев). Такая сетка вблизи черной дыры двигалась бы по отношению к любому наблюдателю (с времениподобной мировой линией) со скоростью больше световой.

Несмотря на указанные особенности, мы по-прежнему можем представлять наши пространственные сечения как «абсолютное» жесткое пространство (напоминающее ньютоновское), а переменную как единое во всем «пространстве» «время» (при этом, естественно, необходимо помнить все сделанные выше оговорки).

В ОТО в произвольном гравитационном поле подобное разбиение пространства-времени на семейство -мерных пространственных сечений (вообще говоря, с меняющейся от сечения к сечению геометрией) и единое «время», нумерующее эти сечения, называют -расщеплением пространства-времени) или кинеметрическим методом [Владимиров (1982)]. Этот метод особенно удобен, когда все пространственные сечения идентичны, и можно рассматривать движения частиц, электромагнитные процессы и др., происходящие на этой неизменной «сцене» в едином «времени» Как уже отмечалось, в этом случае наши «наглядные» представления о пространстве и времени из повседневного опыта помогают нашей интуиции.

Мы будем использовать кинеметрический метод при изучении процессов вокруг стационарных черных дыр. В качестве пространственных сечений выбираются сечения в системе (4.2.1); временная координата.