§ 6.5. Аналитическое продолжение метрики Керра — Ньюмена внутри горизонта событий

Стационарная метрика вращающейся незаряженной черной дыры вне горизонта событий рассмотрена нами в § 4.4. Там мы изложили причины, по которым метрика Керра, продолженная внутри горизонта событий, не может описывать пространство-время внутри черной дыры. Те же Самые соображения применимы, конечно, и к общему случаю заряженной вращающейся черной дыры, описываемой метрикой Керра — Ньюмена (см. §4.8).

В этом параграфе мы тем не менее рассмотрим формальное продолжение метрики Керра — Ньюмена внутри горизонта событий. Причины этого заключаются в следующем.

Во-первых, сама структура этого продолжения оказалась совершенно необычной. Ее изучение показало, насколько топологически сложным может быть полное пространство-время в общей теории относительности. На основе подобного полного решения были высказаны гипотезы о возможности путешествия из одного пространства в другое при наличии образований, подобных описываемому полным решением Керра — Ньюмена. Правда, после доказательства неустойчивости данного решения внутри горизонта событий вероятность какой-либо достоверности таких гипотез стала весьма проблематичной.

Во-вторых, для доказательства неустойчивости решения Керра — Ньюмена внутри черной дыры необходимо привести само решение, а затем и доказательство неустойчивости.

Свойства решения внутри горизонта событий рассматриваются ниже в этом параграфе, доказательство неустойчивости дается в гл. 12.

Полное пространство-время метрики Керра — Ньюмена исследуется в принципе так же, как и в метрике Шварцшильда. Дополнительная трудность здесь связана с отсутствием сферической симметрии. Мы считаем, что ибо только в этом случае решение описывает черную дыру. Прежде всего напомним (см. §§ 4.3, 4.4 и 4.8), что горизонт событий в координатах (4.2.1), (4.8.1) находится при Метрика (42.1) имеет здесь сингулярность, однако сингулярность эта — координатная, что выясняется переходом к координатам Керра (4.4.2); в случае, заряженной черной дыры в выражение для А входит [см. (4.8.1) ]. Все инварианты кривизны при конечны, и пространство-время не имеет особенностей.

При исследовании метрики внутри черной дыры мы должны помнить, что координаты вовсе не обязаны иметь простой смысл временной и сферических пространственных координат, какой они имели на бесконечности во внешнем пространстве. С подобным обстоятельством мы уже сталкивались при исследовании метрики Шварцшильда (см. § 2.4), где, например, переменная при становилась временной координатой. В метрике Керра — Ньюмена физический смысл координат еще более

Рис. 66. Качественная структура сечения вблизи

Рис. 67. Диаграмма Пенроуза для полного пространства-времени Керра - Ньюмена

сложен. Координатная сетка — это линии, «начерченные» в искривленном четырехмерном многообразии, и их физический смысл в каждом месте может быть выяснен рассмотрением их ориентации относительно светового конуса.

При метрика (4.2.1), (4.8.1) имеет сингулярности при

и при

Сингулярность (6.5.1) - координатная, подобно Сингулярность (6.5.2) — истинная сингулярность пространства-времени. Качественная структура пространственно-временного сечения вблизи показана на рис. 66.

Истинная сингулярность в сечении является «кольцом» , лежащим в экваториальной плоскости. Здесь кривизна пространства-времени бесконечна. Если идти (в математическом смысле) вдоль линии то никакой сингулярности на пути не встречается; при пространство-время регулярно, и можно продолжать идти в область Пространство-время продолжается вплоть до Однако не надо думать, что сечение, изображенное на рис. 66, пространственноподобное. Как видно из (4.2.1), при достаточно малых по модулю отрицательных близких к коэффициент при становится отрицательным, а значит, становится времениподобной координатой. Но - циклическая переменная с периодом Это означает, что при указанных условиях

сечение содержит замкнутые линии времени (расположенные вдоль сингулярного кольца и вблизи него).

Полная структура аналитического продолжения пространства-времени Керра — Ньюмеца изображена в виде конформной диаграммы на рис. 67. Подобная диаграмма для пространства-времени Шварцшильда содержит четыре различные области (см. рис. 50с): белую дыру, две внешние области, асимптотически плоские на бесконечности, и черную дыру. Диаграмма для решения Керра — Ньюмена содержит бесконечное число областей. Области соответствуют таким же внешним областям для шварцшильдовской черной дыры. Область II соответствует белой дыре, область II — черной. Однако области эти не ограничены пространственноподобными истинными сингулярностями, как в случае решения Шварцшильда. Область II через две разные границы соединяется с областями III и III. В каждой из зтих областей есть по кольцевой сингулярности, рассмотренной выше, и в каждой из зтих областей можно, минуя сингулярность, пройти в область (области III и III) к При пространства и III становятся асимптотически плоскими. В зтих пространствах кольцевые сингулярности проявляют себя как «голые сингулярности” отрицательной массы.

Области III и III через границы соединяются с областью V, являющейся белой дырой, полностью тождественной по своим свойствам области II. В свою очередь область V через границы соединяется с областями и IV, полностью тождественными по своим свойствам и т.д. бесконечности).

Времениподобная линия частицы, попавшей из внешней области I в черную дыру (область II), будет продолжаться до пересечения с одной из границ области II возможны движения только к все меньшим После пересечения частица попадает в область III или III Здесь возможны движения как с уменьшающимися (вплоть до так и с увеличивающимися. В последнем случае частица пересекает границу попадает в область V, где возможны движения только с увеличивающимся и пересекает одну из границ появляясь в областях IV и IV. Так, частица, мировая линия которой изображена на рис. 67, может из нашего внешнего пространства I попасть в другое точно такое же пространство IV.

Заметим, что топологическая структура, изображенная на рис. 67, сохраняется у заряженной черной дыры и в случае отсутствия вращения (при Только в этом случае сингулярность превращается из кольцевой (в сечении в точечную. Миновать ее и пройти в область теперь невозможно. Области III и III в этом случае

отсутствуют, но пройти из I в IV вдоль времениподобной мировой линии по-прежнему можно.

Возможность подобных «путешествий” породила ряд экзотических гипотез об исходе реального гравитационного коллапса [Новиков (1966а, b, 1970) , Де ла Круз, Израэль (1967), Бардин (1968) ].

Однако, как уже было сказано ранее (см. также гл. 12), из-за неустойчивости решения Керра — Ньюмена внутри черной дыры диаграмма рис. 67 вряд ли имеет какое-либо отношение к действительности.

Границы области II получили название горизонтов Коши. Название это связано со следующим обстоятельством. Если провести пространственноподобную гиперповерхность Коши во всем пространстве I и пространстве (и, возможно, через часть области И или II), как показано на рис. 67, и задать на этой поверхности данные Коши для любых полей или частиц, то эти данные определят эволюцию полей и движение частиц лишь до границ областях на эволюцию полей и движение частиц могут влиять источники в зтих пространствах, которые задаются независимо от данных на

Важной особенностью горизонтов Коши является следующее обстоятельство. Как видно из рис. 67, чем позже какой-либо световой сигнал из области I попадает в II, тем ближе к границе идет его мировая линия. Таким образом, вблизи «скапливаются” мировые линии всех сигналов, попадающих в черную дыру при Эта концентрация сигналов вдоль и является причиной неустойчивости решения Керра — Ньюмена внутри черной дыры по отношению к малым возмущениям (см. гл. 12).