§ 4.4. Пространство-время вращающейся черной дыры

Рассмотрим общие свойства пространства-времени вращающейся черной дыры, описываемого решением (4.2.1).

Введем систему координат, которая не обладает координатными особенностями нигде в пространстве-времени, кроме истинной сингулярности, аналогично тому, как мы это делали в пространстве-времени Шварцшильда В шварцшильдовском пространстве-времени в качестве координатных линий можно было использовать мировые линии фотонов, движущихся по радиусу к центру [см. (2.4.12)]. В случае вращающейся черной дыры также можно использовать мировые линии фотонов, движущихся к черной дыре. Однако теперь вблизи черной дыры траектории фотонов будут закручиваться вокруг нее, увлекаемые ее «вихревым” гравитационным полем. Следовательно, при наличии вращения черной дыры, помимо замены координаты [подобно (2.4.11)], надо еще ввести «кручение” по координате

Оказывается, что наиболее простое выражение для метрики получается, если использовать мировые линии фотонов, которые на бесконечности движутся с постоянным в и имеют проекцию момента импульса на ось вращения черной дыры (см. следующий параграф), где энергия частицы на бесконечности. Можно показать, что переход к такой

Рис. 32. Пространство-время вращающейся черной дыры: 1 - нулевая мировая линия вдоль предела статичности, 2 - «выходящие” фотоны, образующие горизонт, 3 - падающие внутрь фотоны

системе «свободно падающих” фотонов достигается заменой координат:

Получающаяся система координат носит название координат Керра (1963):

Лучше всего общие свойства геометрии вращающейся черной дыры видны на пространственно-временной диаграмме в координатах Керра (рис. 32). Здесь вместо координаты V используется временная координата

Подобные диаграммы в координатах Эддингтона мы уже использовали в гл. 2. Существенное отличие рассматриваемого сейчас случая состоит в том, что метрика Керра не обладает сферической пространственной симметрией, а только осевой.

Поскольку на этих диаграммах одна из вращательных степеней свободы не изображается (поворот вдоль «меридианов” в), то они дают информацию только для какого-нибудь сечения (например, для экваториальной плоскости как это сделано на рис. 32). На рисунке изображены некоторые мировые линии фотонов, которые существенны для описания свойств геометрии Керра. Прежде всего надо помнить, что рассматриваемые координаты с приближением к горизонту закручиваются все сильнее и сильнее вокруг черной дыры. Мировые линии фотонов, падающих внутрь черной дыры, изображаются прямыми. В координатах Бойера — Линдквиста (жесткая сетка — см. §§ 4.2,4.3) они выглядели бы закрученными. Здесь же координатные линии закручиваются точно так же, как и траектории фотонов, поэтому эти траектории по отношению к координатным линиям

выглядят прямыми (собственно, мы так и выбирали координатные линии, чтобы они совпадали с траекториями падающих фотонов). На пределе статичности [см, (4.3.6), (4.3.7)] мировая линия является нулевой, световой конус здесь касается этой линии. Ближе предела все фотоны и частицы обязаны участвовать во вращательном движении вокруг черной дыры, двигаясь с Но они могут вылететь из-под предела статичности к

На горизонте все времениподобные и нулевые мировые линии направлены внутрь черной дыры, за исключением единственной в каждой точке горизонта нулевой линии «выходящего” фотона, которая касается горизонта. Это семейство мировых линий «навивается” на горизонт (см. рис. 32), все время оставаясь на нем. Уравнение этих нулевых геодезических в координатах Керра имеет вид

Все другие фотоны и частицы, достигнув горизонта, обязаны продолжать падать внутрь черной дыры.

Поскольку метрика Керра инвариантна относительно преобразования переводящего входящие световые лучи в выходящие, можно выполнить это преобразование в (4.4.1). Если при этом произвести замену то уравнения описывают семейство выходящих световых лучей, а координата на бесконечности совпадает с обычной координатой запаздывающего времени. Метрика Керра в этих координатах получается из (4.4.2) преобразованием

В отличие от метрики Шварцшильда, мы не будем рассматривать здесь продолжение метрики Керра внутри горизонта. Причина этого состоит в следующем. В случае коллапса сферического тела, порождающего шварцшильдовскую черную дыру, метрика пространства-времени вне коллапсирующего тела является точнометрикой Шварцшильда как вне, так и внутри черной дыры. При коллапсе невращающегося тела с малыми отклонениями от сферичности метрика вне черной дыры быстро стремится к шварцшильдовской при В гл. 12 мы увидим, что то же свойство имеет место и внутри шварцшильдовской черной дыры. Таким образом, внутренняя область шварцшильдовской метрики описывает реальную «внутренность” невращающейся черной дыры.

Ничего подобного нельзя сказать о метрике Керра. Во-первых, при сжатии любого вращающегося тела, превращающегося в черную дыру, вне тела метрика не может быть сразу стационарной (а значит, не может быть метрикой Керра), так как в процессе коллапса происходит излучение гравитационных волн. Это справедливо как для области вне горизонта, так и внутри горизонта. В области вне горизонта, как мы увидим в гл. 6, все отклонения от метрики Керна уносятся гравитационными волнами и предельная метрика при есть решение Керра. Таким образом, для внешнего пространства-времени метрика Керра описывает реальную вращающуюся черную дыру.

Однако для области внутри горизонта — ни сразу после коллапса, ни с течением времени — метрика не стремится к решению Керра. Поэтому оно (внутри горизонта) не описывает внутренность реальной вращающейся черной дыры (подробно о строении черных дыр внутри горизонта будет говориться в гл. 12). Подчеркнем, что все рассмотренные выше свойства пространства-времени черной дыры справедливы только, если В противном случае в ешении исчезает горизонт, и оно уже не описывает черную дыру. Появляются «патологические” особенности [Хокинг, Эллис (1973)], и вряд ли это решение может иметь какое-либо отношение к реальности. С физической точки зрения для образования объекта с требовалось бы сжатие вращающегося тела, обладающего столь большим угловым моментом, что при размерах линейная скорость вращения должна была бы превышать скорость света. Везде в дальнейшем (для незаряженной черной дыры) мы считаем