§ 2.7. Вечные черные и белые дыры

На первый взгляд кажется возможным существование в пустом пространстве вечной черной дыры, т.е. такой черной дыры, которая не возникает в результате сжатия массы (как изображено на рис. 6 и 7), а всегда существует в виде, показанном на рис. 1 и 3. В таком пространстве-времени всегда есть сфера Шварцшильда и нет сжимающегося вещества шара.

Удивительным образом оказывается, что такого образования — «чистой» вечной черной дыры — в принципе быть не может. Дело заключается в следующем. Картина или, как говорят, карта пространства-времени, представленная на рис. 1 (или рис. 3), не охватывает всего пространства-времени. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим частицу, свободно движущуюся по радиусу от сферы Шварцшильда. Ее мировая линия в сжимающейся системе Леметра определяется выражением

и изображена на рис. 10. Продолженная в прошлое, она асимптотически подходит к линии не пересекая ее. По времени системы отсчета Леметра частица существует от Однако мы знаем, что по собственному времени частицы путь от до любого конечного занимает конечный промежуток. Таким образом, рис. 10 не охватывает всей прошлой истории рассмотренной частицы от ее собственным часам. Ведь история одиночной (т.е. не взаимодействующей с другими частицами —

скажем не рождающейся, например, во взаимодействиях) частицы не обрывается на сфере Шварцшильда. Мировая линия такой частицы должна либо продолжаться бесконечно по ее собственному времени, либо обрываться на истинной сингулярности пространства-времени, где вступают в силу новые физические законы. Значит, карта неполна, не покрывает всего пространства-времени.

Можно ли построить всюду пустое пространство-время с вечной черной дырой, которое полно в том смысле, что охватывает все истории всех движущихся в нем частиц? Оказывается, можно, хотя в нем, как мы увидим, будет представлена не только вечная черная дыра, но и вечная белая дыра.

Рис. 10. Мировая линия частицы, улетающей от сферы Шварцшильда, в сжимающихся координатах Леметра

Рис. 11. Расширение шара из-под сферы Шварцшильда с последующим сжатием под сферу. Область внутри шара заштрихована

Чтобы естественно подойти к такому построению, рассмотрим белую дыру с расширяющимся пылевым шаром. Представим, что энергия движения частиц шара такова, что поверхность шара не разлетается в бесконечность, а, достигнув максимального радиуса, снова сжимается до размеров а затем коллапсирует до

Согласно формуле (2.3.5) удельная энергия частицы на поверхности шара должна быть меньше единицы, чтобы при некотором В решении Толмена (2.6.1) — (2.6.4) такой разлет до конечного радиуса соответствует выбору Качественно пространство-время с расширяющимся, а затем сжимающимся пылевым шаром изображено на рис. 11. В этом пространстве-времени имеется сначала белая дыра, а затем возникает черная дыра. Обратим внимание на то, что на рисунке линии в данном решении изображаются уже не прямыми, как в случае движения с параболической скоростью (см. рис. 6,8).

Будем уменьшать удельную энергию частиц на поверхности шара. Полную массу шара М, а значит, и величину считаем фиксированными, т.е. с уменьшением мы уменьшаем долю кинетической энергии разлета в полной энергии шара. Тогда шар будет разлетаться до все

Рис. 12. Граница шара расширяется только до сферы Шварцшильда и затем сжимается

меньших радиусов. Наконец, при разлет шара происходит до Пространство-время тогда качественно выглядит так, как показано на рис. 12.

Что будет, если константу уменьшать и дальше, делая ее отрицательной? На первый взгляд это физически бессмысленно, а формально ведет к увеличению максимального радиуса разлета что определяется приравниванием нулю в формуле (2.3.5). В действительности ничего бессмысленного в такой операции нет. Чтобы в этом разобраться, обратимся к формулам (2.6.1) — (2.6.4). Будем считать, что пылевой шар, эволюция которого рассматривается, однороден. Тогда внутри шара метрика пространства-времени соответствует метрике однородной изотропной Вселенной. В решении (2.6.1) - (2.6.4) такая метрика отвечает выбору функций

где масштабный фактор, определяемый плотностью рта х внутри шара в момент максимального расширения:

Вещество шара продолжается до граничного значения координаты Значение может лежать в пределах Вне шара, в вакууме (при частицы, осуществляющие систему отсчета, свободно движутся по радиальным геодезическим. Метрика определяется следующими функциями [Новиков (1963, 1964а)]:

В этой ситуации

Сумма масс покоя частиц, из которых состоит шар, определяемая произведением плотности на объем шара, есть

Величина (гравитационная масса) характеризует полную энергию частиц шара, включая гравитационную. Если граничная координата лежит в пределах то внутренность шара представляет собой так

называемый полузамкнутый мир [см. Зельдович, Новиков (1975; там же ссылки на предыдущие работы]. В этих условиях увеличение граничного значения R (добавление новых слоев вещества) увеличивает но уменьшает (из-за сильного гравитационного дефекта массы).

Наша цель — исследование эволюции шара, когда мы сообщаем его частицам все меньшую и меньшую удельную энергию. Это значит, что мы будем брать все меньшее и меньшее отношение Для выяснения того, что при этом получается, можно поступить двояко — беря разные отношения фиксировать неизменной либо либо Выбор имеет только методическое значение. Так как нас будет интересовать метрика вне шара, мы зафиксируем определяющую внешнюю метрику.

Проследим при этом, как будет происходить эволюция во времени границы шара для каждого фиксированного и какова метрика вне шара. Отношение определяется (2.7.7) и (2.7.8):

Эволюция границы шара описывается отношением радиуса наибольшего расширения границы к гравитационному радиусу

Когда отношение лишь немного меньше единицы, и картина эволюции качественно выглядит так, как показано на рис. 11

Когда ситуация показана на рис. 12. При шар является полузамкнутым миром, отношение уменьшается с приближением Это соответствует в (2.3.5). Теперь метрика выглядит так, как показано на рис. 13.

Рис. 13. Расширение и сжатие полузамкнутого мира

Рис. 14. Всюду пустое пространство-время с белой и черной дырой

Появилась новая качественная особенность. Отношение снова больше единицы. Но граница шара теперь не появляется из-под сферы с радиусом в пространстве внешнего наблюдателя Появилась новая область которая вне шара во всем идентична

При граница все больше сдвигается влево на рис. 13, оставляя свободной все большую часть Отношение стремится к бесконечности, а отношение к нулю.

Если перейти к пределу то область, занятая веществом, исчезнет вовсе, все пространство-время теперь пустое (рис. 14). В нем есть белая дыра черная дыра и два идентичных внешних пространства переходящие в евклидовы на пространственной бесконечности, Это пространство-время полно в том смысле, что любая геодезическая теперь либо продолжается неограниченно, либо заканчивается истинной сингулярностью.

Система отсчета, охватывающая все пространство-время на рис, 14, описывается решением вида (2.7.5) - (2.7.6), где начало отсчета удобно выбрать в минимуме функции Тогда

Впервые полное, всюду пустое пространство-время, изображенное на рис. 14, было построено Сингом (1950), затем Фронсделом (1959), Крускалом (1960), Жекересом (1960). Физические соображения, приведенные выше, и решение (2.7.11) получены Новиковым

Итак, мы получили всюду пустое пространство с присутствием белой и черной дыр (обязательно вместе!). Эти дыры можно назвать «вечными», так как с точки зрения внешних наблюдателей, покоящихся в эти дыры существуют всегда.

Физический смысл второго «внешнего пространства» выяснен выше, когда рассматривалась эволюция шара со все меньшей удельной энергией Вопрос о том, могут ли реально существовать вечные черные и белые дыры (подобные рис. 14), совсем лишенные вещества, будет рассмотрен в § 13.2 в связи с вопросом устойчивости белых дыр.

В заключение этого параграфа приведем систему координат, предложенную Крускалом (1960) и Жекересом (1960). Она, как и система (2.7.11), покрывает все пространство-время вечных белой и черной дыр. В этих координатах интервал записывается в виде

где функция и

Связь координат и (в областях дается следующими

соотношениями:

В областях аналогичные соотношения получаются путем замены . Система Крускала удобна тем, что в ней радиальные нулевые геодезические изображаются прямыми линиями, наклоненными под углом 45° к осям координат.