§ 8.2. Глобальная структура поля пробного заряда в пространстве-времени вечной черной дыры

При изучении процессов, происходящих вне черной дыры, естественным является описанный в предыдущей главе подход, состоящий в том, что с помощью фиксации определенным образом выбранных граничных условий на поверхности черной дыры физическая задача в полном пространстве-времени сводится к задаче во внешней области. Обладая рядом достоинств, этот подход по своей природе является неполным, поскольку в нем целиком исключаются из рассмотрения все явления, происходящие внутри черной дыры. Следует подчеркнуть, что изучение подобных явлений и, в частности, детальное описание особенностей

Рис. 72. Диаграмма Пенроуза для полного пространства-времени черной дыры Рейсснера - Нордстрема

фиэических процессов в тех областях пространства-времени, где согласно классической теории должны находиться сингулярности, представляют важную задачу физики черных дыр. В этих областях, где кривизна пространства-времени велика, в полной мере проявляются квантовые особенности физических взаимодействий. Общий вопрос о структуре пространства-времени внутри черной дыры мы обсудим в гл. 12, после того как изложим теорию квантовых эффектов в черных дырах. В настоящем параграфе мы рассмотрим частный вопрос о структуре физических полей, создаваемых пробными зарядами в полном пространстве-времени черной дыры. При этом рассмотрении мы считаем метрику черной дыры заданной и пренебрегаем влиянием на нее поля пробного заряда.

Пусть пробный точечный заряд электрического или скалярного безмассового поля покоится вне заряженной вечной черной дыры. На рис. 72, на котором приведена диаграмма Пенроуза для рассматриваемого пространства-времени, мировая линия этого заряда обозначена у. Метрика Рейсснера — Нордстрема, описывающая гравитационное поле заряженной черной дыры в координатах покрывающих область I на этом рисунке, имеет вид

где масса, электрический заряд черной дыры.

Электрическое и скалярное поля, создаваемые пробным зарядом, покоящимся в точке определяются как решения уравнений [см. , (П. 50)]

где

Решения этих уравнений вне черной дыры (в области I) были получены Лине (1976) и Лейтом, Лине (1976), обнаружившими и исправившими небольшую неточность в формуле, выведенной ранее (при Копсоном (1928). Эти решения имеют вид с (7.4.1)]

где

Используя метод аналитического продолжения, можно распространить это решение из области I на все пространство-время. Для этого введем в областях I, II, Икоординаты регулярные в этих областях и связанные в области I с координатами соотношениями

При эти координаты покрывают области , и аналитическое продолжение метрики Рейсснера - Нордстрема (8.2.1) в них имеет вид

где

определяется уравнением

Отличные от нуля компоненты аналитически продолженных решений (8.2.2) в этих координатах суть

В этих формулах понимается как функция от и и и, определяемая соотношением (8.2.8). Нетрудно видеть, что это решение инвариантно относительно преобразования отображающего область I на область Поэтому наряду с сингулярностью, отвечающей мировой линии у заряда, оно обладает также сингулярностью на линии у, отвечающей дополнительному заряду в случае скалярного поля) в области Поэтому выражения (8.2.9) - (8.2.11) не являются решением поставленной задачи о нахождении поля, создаваемого одиночным зарядом.

Искомое решение может быть получено, если учесть, что в областях и II, лежащих вне области влияния пробных зарядов, поле естественно выбрать равным нулю. Это решение может быть представлено в следующем виде [Зельников, Фролов (1982, 1983, Демянский, Новиков (1982)]:

где решения (8.2.10) и (8.2.11). Сингулярные члены обеспечивают выполнимость однородных уравнений поля на поверхности Подставляя (8.2.12а) в уравнения Максвелла (8.2.2а), получаем

Ограниченное на решение этих уравнений имеет вид

Аналогично, подставляя (8.2.12b) в уравнение для скалярного поля (8.2.2b), получаем

Если черная дыра не является экстремальной то единственным ограниченным на - решением (8.2.15) будет Для экстремальной

черной дыры имеется также решение однако значение и не определяется внешним скалярным полем и поэтому не имеет отношения к заряду Таким образом, в областях и II решение поставленной задачи дается соотношениями и (8.2.13) при

Аналитическое продолжение легко позволяет определить и в области III Вне горизонта Коши (например, в области III) решение однозначно распространить, вообще говоря, нельзя, поскольку в этой области оно зависит от условий, которые требуется задавать дополнительно. В пределе полученное решение описывает поля от точечных источников в пространстве-времени вечной шварцшильдовской черной дыры, метрика которой в координатах имеет вид

где

Появление -образной особенности в полученном выше решении для электромагнитного поля связано с постановкой задачи, при которой считается, что заряд все время покоился около черной дыры. Аналогичная особенность возникает и в полном решении, описывающем массивное векторное поле от источника вне черной дыры [Фролов (1978, 1986). Описанные выше особенности при сглаживаются, если рассмотреть решения, описывающие случай, когда заряд вносится в поле черной дыры.

Интересно отметить, что имеется тесная связь полученного выше полного решения для поля от пробного заряда в пространстве-времени черной дыры с решением для поля от равноускоренного заряда в плоском пространстве-времени [Зельников, Фролов (1982, 1983)]. Для установления этой связи заметим, что если в метрике (8.2.16), описывающей гравитационное поле черной дыры, устремить параметр к бесконечности, то в конечной области пространства-времени вблизи горйзонта событий влияние кривизны неограниченно уменьшается, и гравитационное поле в этой области все с большей степенью точности можно считать однородным. Формально переход к пределу однородного поля в метрике (8.2.16) осуществляется следующим образом. Вводятся координаты связанные с , соотношениями

В этих координатах метрика (8.2.16) принимает вид

где связано с соотношением

Если теперь при фиксированных значениях координат устремить к бесконечности, то (8.2.19) переходитв метрику плоского пространства

Здесь

Уравнение движения пробного заряда при этом принимает вид

где — модуль 4-ускорения движения заряда. В пределе поверхности горизонтов превращаются в световые гиперплоскости, описываемые уравнением [«горизонты» пространства Риндлера (1966)]. Инвариантное расстояние до горизонта для истицы, имеющей 4-ускорение стремится при этом к конечному значению

При описанном выше предельном переходе выражения (8.2.12) (при ) принимают следующий вид:

где

Выражения (8.2.24) для могут быть получены из следующего 4-потенциала:

Нетрудно убедиться, что формулы (8.2.24) совпадают с выражением для поля от равноускоренного электрического заряда [см., например. Бульвар (1980); при этом член, пропорциональный в (8.2.24), правильно воспроизводит сингулярный при член, введенный в работе Бонди, Голда (1955).