§ 9.3. Усреднение по «ненаблюдаемым» состояниям. Матрица плотности

Обсудим теперь более подробно те особенности, которые отличают задачу -рождении частиц в черных дырах от общей задачи во внешнем поле, рассмотренной в предыдущем разделе. Как уже упоминалось, характерным для процессов с участием черных дыр является возможность разделить множество аут-состояний на два класса, представителей которых мы условно будем называть «видимыми” и «невидимыми”. К первому классу относятся состояния, отвечающие частицам, вылетающим от черной дыры, ко второму — падающим внутрь нее. Чтобы сделать это разбиение явным, договоримся использовать вместо индекса нумерующего аут-состояния, индекс а для нумерации «видимых” и индекс а для нумерации «невидимых” состояний. Примем также обозначения

Произвольный вектор пространства аут-состояний допускает следующее разложение:

Для среднего значения произвольного оператора зависящего только от «видимых” состояний имеем

Поскольку оператор не зависит от а состояния

удовлетворяют условиям нормировки

то соотношение (9.3.3) можно переписать в виде

где

означает операцию вычисления следа в пространстве состояний «видимых” частиц.

Следует особо подчеркнуть, что введенная выше матрица плотности не зависит от способа определения понятия частицы для «невидимых” состояний. На примере преобразований, связывающих ин- и аут-базисы, мы уже отмечали, что отвечающий этому преобразованию оператор является унитарным: Очевидно, что это свойство имеет место для подобных канонических преобразований общего вида. Изменение базиса в подпространстве решений, отвечающих «невидимым” частицам, описывается с помощью унитарного оператора обладающего свойством

При этом преобразовании коэффициенты разложения преобразуются по следующему закону:

а коэффициенты матрицы вследствие условия унитарности остаются неизменными.

Нетрудно убедиться, используя соотношение (9.3.5) для единичного оператора что для нормированного состояния матрица плотности удовлетворяет условию нормировки