§ 12.2. Неустойчивость горизонтов Коши внутри заряженной сферической черной дыры

Рассмотрим поведение малых возмущений гравитационного и электромагнитного полей внутри заряженной сферически-симметричной черной дыры.

Качественно новым обстоятельством по сравнению с черной дырой Шварцшильда является здесь наличие горизонтов Коши (см. § 6.5). На рис. 84 изображен фрагмент диаграммы Пенроуза с внутренней частью (область II) заряженной черной дыры и внешним пространством Если заряженная черная дыра образуется в результате коллапса заряженного тела из пространства I, то другое внешнее пространство ( на рис. 67) отсутствует, как и в случае коллапса незаряженного сферического тела, превращающегося в черную дыру Шварцшильда (см. § 2.7). Поэтому область на рис. 84 не показана. Есть веские основания считать (см. § 6.5), что малые возмущения могут неограниченно нарастать в окрестности [Пенроуз (1968) ].

Действительно, рассмотрим малое возмущение гравитационного и (или) электромагнитного поля вне черной дыры в области Как мы уже показали в § 3.4 и 4.7, «хвосты” излучения от него будут затухать во времени по степенному закону при из-за рассеяния на кривизне пространства-времени. Такой затухающий поток излучения будет пересекать горизонт событий и концентрироваться вдоль горизонта (см. рис. 84). Наблюдатель, движущийся по времениподобной мировой линии и пересекающий горизонт за конечное собственное время увидит это излучения вблизи (оно попадает в черную дыру за бесконечное время внешнего наблюдателя). При этом, когда наблюдатель приближается воспринимаемое им излучение имеет бесконечное голубое смещение. Естественно ожидать, что такая концентрация энергии приведет к перестройке пространства-времени и к возникновению вместо истинной сингулярности пространства-времени. В то же время вдоль горизонта (за исключением точки никакой концентрации энергии не возникает, и поэтому не следует ожидать «рождения” сингулярности от возмущений, возникающих в области 1.

Рис. 84. Часть диаграммы Пенроуза для заряженной черной дыры с изображением распространения радиальных лучей непосредственно от вспышки и после рассеяния на кривизне пространства-времени

Мы увидим, что математический анализ эволюции малых возмущений подтверждает эти интуитивные соображения.

Данная задача была проанализирована Макнамарой (1978 а, b), Гурселом и др. (1979 а, Ь), Метцнером и др. (1979), Чандрасекаром и Хартлем (1982). Мы будем следовать последней работе.

Метрика заряженной черной дыры имеет вид

Нас интересует область пространства-времени В работах Чандрасекара (1979b, 1983) и Чандрасекара и Ксантопулоса (1979) было показано, что возмущения гравитационного и электромагнитного полей заряженной черной дыры Рейсснера — Нордстрема могут быть проанализированы в терминах нормальных мод с зависимостью от времени в виде и угловой зависимостью, описываемой соответствующими функциями Лежандра с фиксированными Возмущения разделяются на два класса: аксиальные (индекс вверху) и полярные индекс вверху). Возмущение каждого класса может быть выражено через пару калибровочно инвариантных (в том смысле, как это описано в § 3.1) скалярных функций удовлетворяющих уравнению

где

(в формулах (12.2.5), Оказывается, что связано простым алгебраическим соотношением.

Уравнения типа (12.2.2) уже встречались нам в задаче о поведении физических полей вне черной дыры (см. гл. 3). Нас интересует рещение этих уравнений, описывающее прохождение и отражение падающей на -волны. (В данном случае -является потенциальной ямой, а не барьером, как было для, внешнего пространства черной дыры, но

качественно это не меняет дела.) Оказывается, что коэффициенты отражения и прохождения для просто выражаются через соответствующие коэффициенты

Исследуем поведение волновых возмущений, входящих в область II через горизонт из области I (см. рис. 84). Для этой цели рассмотрим дисперсию волны, имеющей единичную амплитуду на Решение уравнений (12.2.2) должно удовлетворять следующим граничным условиям (мы опускаем верхние и нижние индексы, так как анализ справедлив для всех их значений):

Коэффициенты описывающие прохождение и отражение волны через могут быть в принципе найдены стандартными методами, если известен вид [см. (12.2.5), (12.2.6)]. Удобно ввести для анализа нулевые (световые) координаты

Если нанести на рис. 84 линии постоянного и (мы не делали этого, чтобы не загромождать чертеж), то они изобразятся отрезками прямых, параллельными Линии постоянного (также не показанные на рисунке) являются отрезками прямых, параллельными Горизонту соответствует горизонту Граничные условия (12.2.10) переписываются в виде

Рассмотрим возмущение пересекающее горизонт т.е. заданное при и Его фурье-образ есть

После дисперсии в области II возмущение достигнет горизонта Там его амплитуда может быть записана в виде [см. (12.2.12)]

где

Нас интересует поток излучения, воспринимаемый наблюдателем, пересекающим горизонт Этот поток пропорционален квадрату амплитуды

где — четырехмерная скорость наблюдателя. В зависимбсти от будет ли поток конечным или бесконечным, горизонт будет устойчив или неустойчив (в линейном приближении) относительно малых возмущений.

Метцнер и др. (1979) и Чандрасекар (1983) показали, что на горизонте Коши величина записывается в виде:

где постоянная временная компонента ковариантной 4-скорости наблюдателя. Расходимость (или конечность) выражений (12.2.19) и (12.2.20) зависит соответственно от поведения

Будем предполагать, что форма возмущающего излучения пересекающего удовлетворяет следующим условиям: при при стремится к нулю по крайней мере как Именно этим условиям и должно удовлетворять любое реальное излучение от, например, падающего в дыру объекта или какого-либо элементарного возмущения, произошедшего в области Действительно, второе условие должно выполняться согласно исследованной нами в предыдущем параграфе асимптотики возмущающего излучения при на горизонте незаряженной черной дыры. Наличие заряда ничего не меняет в этом отношении [см., например, Бичак (1972)]. Степенное затухание «хвостов” излучения от возмущений типично практически дня любого возмущения.

Первое условие заведомо выполняется, если под понимать значение аффинного параметра, соответствующего моменту, когда горизонт пересекает первый, дошедший до него луч от возмущения.

В работе Чандрасекара и Хартля (1982) показано, что для решений уравнения (12.2.2) с любыми индексами величина остается конечной, т.е. горизонт устойчив относительно малых возмущений в области Напротив, величина расходится при и по крайней мере как или еще быстрее (скорость расходимости зависит от характера возмущения). Это означает, что с приближением к наблюдатель видит бесконечную плотность потока излучения.

Изложенный математический анализ полностью подтвердил интуитивные соображения Пенроуза, приведенные в начале параграфа. Заметим, что

дисперсия волн от любого возмущения, возникшего в области II, не ведет, очевидно, к концентрации энергии вдоль следовательно, к неустойчивости горизонтов Коши. Бесконечная концентрация энергии вблизи от возмущений в области I должна влиять на метрику, перестраивая структуру пространства-времени. Поэтому вблизи метод малых возмущений уже неприменим. Можно только высказать догадку, что вместо горизонта Коши будет формироваться истинная сингулярность пространства-времени.

Сделаем еще одно замечание. Пусть вне черной дыры имеются источники постоянного внешнего поля - электромагнитного гравитационного или какого-либо другого. В случае заряженной черной дыры эти поля проникают через во внутреннюю область, как и в случае незаряженной шварцшильдовской черной дыры (см. § 12.1). Если при этом вне черной дыры поля слабы и не влияют на метрику, то и внутри черной дыры они остаются слабыми. В частности, они слабы на и не ведут к каким-либо неустойчивостям [обоснование этого утверждения см. Гурсел и др. (1979b)].