§ 6.2. Общие свойства стационарных черных дыр

Поскольку имеются все основания считать, что при отсутствии внешних воздействий и в пренебрежении квантовыми эффектами конечное состояние любой черной дыры является стационарным, то, естественно при описании свойств этих конечных состояний начать с изучения стационарных черных дыр.

Свойство стационарности пространства-времени означает возможность так ввести в нем координаты, что коэффициенты метрики будут независимы от одной из них — «временной” координаты. На более геометрическом языке это означает, что пространство-время допускает однопараметрическую группу движений, генераторами которой является где векторное поле Киллинга, удовлетворяющее уравнению

Так как мы хотим, чтобы пространство-время не изменялось при сдвиге «по времени», то логично потребовать, чтобы вектор был времениподобным и В общем случае, однако, нельзя гарантировать, что имеет один и тот же знак во всем пространстве-времени. Поэтому мы будем называть асимптотически плоское пространство стационарным, если оно допускает векторное поле Киллинга являющееся времениподобным в окрестности .

Для доказательства содержательных утверждений относительно общих свойств стационарых черных дыр приходится дополнительно сделать два следующих предположения:

1) пространство-время является регулярно предсказуемым;

2) пространство-время либо является пустым, либо содержит поля, описываемые гиперболическими уравнениями и удовлетворяющие условию энергодоминантности: для произвольных времениподобных векторов и тензор энергии-импульса поля удовлетворяет неравенству

Первое предположение, касающееся общей причинной структуры пространства-времени и подробно обсуждавшееся в предыдущей главе (см. сноску нас. 102), имеет в известной мере технический характер. Условие энергодоминантности (из которого, в частности, следует слабое энергетическое условие) означает следующее: любой наблюдатель видит, что локальная энергия неотрицательна, а локальный поток энергии непространственноподобен. Второе предположение заведомо выполняется для электромагнитного поля [более подробное обсуждение см. Хокинг, Эллис (1973) ]. В дальнейшем (в данной главе), не оговаривая этого особо, будем считать, что приведенные выше предположения выполняются.

В стационарном пространстве-времени площадь поверхности черной дыры не зависит от времени. Поэтому сходимость световых лучей, образующих горизонт событий, тождественно равна нулю. Вследствие этого горизонт видимости совпадает с горизонтом событий. Используя соотношения и (5.3.23), нетрудно убедиться, что следствием слабого энергетического условия и постоянства площади поверхности черной дыры является обращение в нуль на поверхности горизонта величин и Ч:

Последние два равенства можно интерпретировать как отсутствие потоков вещества и физических полей и гравитационного излучения через горизонт событий.

Каждая связная компонента горизонта в заданный момент в стационарном пространстве-времени, так же как и в общем случае, является компактной и односвязной. Более того, как показал Хокинг (1972а), в стационарном случае топология поверхности каждой черной дыры совпадает с топологией двумерной сферы Топологии поверхности черной дыры, отличные от возможны в случае, если нарушается условие энергодоминантности [Героч, Хартль (1982)].

В принципе не исключен случай, когда в стационарном пространстве-времени имеется несколько связных компонент и соответственно несколько «неподвижных ’ черных дыр. Такое равновесие возможно только, если гравитационное притяжение скомпенсировано электромагнитным отталкиванием (или отталкиванием силами другой природы). В частности, если имеется несколько заряженных черных дыр, обладающих массами и зарядамй удовлетворяющими соотношению то система таких черных дыр будет находиться в равновесии [Хартль, Хокинг (1972), Охта, Кимура (1982)].

В дальнейшем мы будем рассматривать тот случай, когда имеется лишь одна стационарная черная дыра, и ограничим рассмотрение областью пространства-времени, лежащей вне этой черной дыры. В общем случае полное пространство-время стационарной черной дыры наряду с горизонтом событий может содержать также горизонт событий прошлого

(в этом нетрудно убедиться на примере шварцшильдовской черной дыры, диаграмма Пенроуза которой для полного пространства-времени приведена на рис. Область пространства-времени, лежащая вне и называется внешней. Для событий, происходящих во внешней области, характерно то свойство, что найдутся причинные кривые, связывающие их как так и с Можно доказать [см., например, Хокинг, Эллис (1973)], что в стационарном пространстве векторное поле Киллинга отлично от нуля во всей внешней области и на части горизонта событий.

Для более детального описания свойств стационарных пространств удобно ввести в рассмотрение следующий дифференциальный инвариант связанный с векторным полем Киллинга соотношением

где полностью антисимметричный тензор. Стационарное пространство называют статческим, если Обращение в нуль, согласно теореме Фробениуса, является необходимым и достаточным условием того, что векторное поле ортогонально некоторой поверхности. Иными словами, если , то найдутся две скалярные функции такие, что выполняется равенство

В области, где можно использовать в качестве одной из координат (временной координаты), дополнив ее тремя другими . Удобно выбрать координаты следующим образом. Зафиксируем произвольную поверхность введем на ней координаты и распространим их на все пространство, потребовав, чтобы они были постоянными вдоль интегральных кривых Метрика статического пространства в подобных координатах имеет вид

Используя уравнение Киллинга (6.2.1), нетрудно убедиться, что а координатный произвол можно использовать, чтобы добиться выполнения следующих соотношений:

Оставшийся после этого произвол в выборе координат отвечает преобразованиям

Заметим, что поскольку не зависят от то метрика (6.2.5) оказывается инвариантной также относительно преобразования Верно и обратное, а именно, всякая стационарная метрика, допускающая дополнительную симметрию обращения времени является статической.

Важным свойством статических черных дыр является то, что во всей их внешней области векторное поле Киллинга времениподобно, а на части горизонта событий ограничивающей внешнюю область, отлично от нуля, светоподобно и направлено вдоль образующих Последнее свойство легко доказать следующим образом. Используя равенство

вытекающее из условия и соотношение (6.2.1), имеем

С помощью этого равенства нетрудно убедиться, что

и, следовательно, поверхность является световой, так как нормаль к ней совпадает на ней по направлению со световым вектором Поскольку и параллельны, то

и, следовательно, касательный вектор к световой геодезической (образующей поверхности Эти световые геодезические не выходят на поскольку все время находятся на поверхности, где в то время как . С другой стороны, расходимость световых образующих поверхности равна нулю. Это означает, что такая поверхность является внешней ловушечной поверхностью, а поскольку пространство-время стационарно, то одновременно она является горизонтом событий [Вишвешвара (1968)].

Если стационарная черная дыра не является статической, то векторное поле Киллинга неизбежно становится пространственно подобным в некоторой части внешней области [Хокинг, Эллис (1973)]. Эта область, где получила название эргосферы.

Возникновение эргосферы вне нестатической стационарной черной дыры приводит к ряду важных физических следствий. Более подробно эти следствия обсуждаются в последующих главах. Сейчас мы остановимся лишь на одном из них. Напомним, что, согласно теореме Нетер, симметриям пространства-времени отвечают законы сохранения определенных физических личин. В частности, однородности во времени отвечает закон сохранения энергии. Для частицы, движущейся в стационарном пространстве-времени с векторным полем Киллинга эта сохраняющаяся величина (энергия) записывается следующим образом

где - импульс частицы. Поскольку направленный в будущее времениподрбный или световой вектор, то для частиц вне эргосферы Однако для частиц или лучей света, находящихся в эргосфере, возможно выполнение обратного неравенства Такие частицы, очевидно, могут покинуть эргосферу, только провалившись внутрь черной дыры. Это возможно лишь в том случае, если эргосфера пересекает горизонт событий.

Наличие состояний с отрицательной энергией в эргосфере делает возможным следующий механизм извлечения энергии из стационарных нестатических черных дыр, предложенный Пенроузом (1969). Представим себе

(рис. 64), что частица с импульсом попав в эргосферу, распадается там на пару частиц с импульсами так что а частица с импульсом вылетает обратно. Тогда энергия вылетающей частицы будет больше энергии падающей частицы и означает возможность извлечения энергии в этом процессе.

Существенное отличие свойств черных дыр с сом и сом связано с тем, что нестатические стационарные черные дыры в известном смысле обладают вращением.

Рис. 64. Процесс Пенроуза. Тело, падающее с некоторого расстояния (положение А), влетает в эргосферу вращающейся черной дыры и, взрываясь, распадается в точке В около поверхности черной дыры на две части, одна из которых поглощается черной дырой — точка (параметры «взрыва” выбраны так, что энергая этой части отрицательна). Другая часть вылетает из эргосферы (точка С), обладая энергией, большей, чем энергия падающего тела

Появление отрицательных энергий при движении частиц в поле вращающейся черной дыры можно объяснить, если принять во внимание дополнительное гравитационное взаимодействие углового момента Этой частицы с угловым моментом вращающейся черной дыры. Энергия, сообщаемая вылетающей в процессе Пенроуза частице, черпается из энергии вращения черной дыры.

После этих замечаний возвратимся к обсуждению общих свойств стационарных черных дыр и рассмотрим вопрос о взаимном расположении эргосферы и горизонта событий. В принципе возможна ситуация, когда эргосфера не пересекается с горизонтом и целиком лежит вне его. Однако, по-видимому, эта ситуация неустойчива Хокинг, Эллис (1973)]. Поэтому мы сделаем предположение, что в стационарном пространств -времени, описывающем конечное состояние черной дыры, эргосфера пересекает горизонт. Это означает, что на горизонте событий имеются точки, где векторное поле Киллинга пространственно подобно. Покажем, что в этом случае черная дыра обязательно является аксиально-симметричной.

Пусть поверхность черной дыры в некоторый момент времени. Как указывалось выше, для стационарной черной дыры имеет топологию двумерной сферы Обозначим через сечения горизонта событий,

возникающие путем сдвига точек вдоль интегральных кривых поля на величину, отвечающую параметру и (рис. 65). Пусть точка при этом переходит в точку Обозначим через точку пересечения образующей горизонта событий, проходящей через Поскольку непараллельны, то отображение является нетривиальным преобразованием в себя. Обращение в нуль сходимости и сдвига а на горизонте событий стационарной черной дыры приводит к тому, что расстояние между любой парой точек на совпадает с расстоянием между отвечающими им точками на 50. С другой стороны, поскольку векторное поле Киллинга, то это расстояние совпадает также с расстоянием между и 4. Тем самым преобразование является преобразованием симметрии, переводящим поверхность в себя. Поскольку имеет топологию сферы то под действием описанной группы изометрий все ее точки, за исключением двух («полюсов”), движутся, причем их орбиты - замкнутые окружности. Иными словами, поверхность стационарной нестатической черной дыры аксиально-симметрична. Если метрика, описывающая стационарую черную дыру, является аналитической, то из аксиальной симметрии горизонта событий вытекает аксиальная симметрия всего пространства-времени. Этот результат составляет содержание следующей теоремы, доказанной Хокингом (1972а).

Пусть эргосфера в стационарном нестатическом пространстве имеет пересечение с горизонтом событий Тогда существует однопараметрическая циклическая группа изометрий, генераторы которой коммутируют с и орбиты которой пространственноподобны вблизи

Рис. 65, Стационарная вращающаяся черная дыра является аксиально-симметричной. Иллюстрация к доказательству теоремы Хокинга

Эта теорема справедлива и в тех случаях, когда метрика неаналитична в изолированных областях вне горизонта.

В заключение параграфа подведем краткий итог. Итак, конечное состояние одиночной черной дыры описывается стационарной метрикой. При этом либо черная дыра не вращается и эта метрика статична, либо она вращается, тогда пространство-время обладает дополнительной аксиальной

симметрией. Следующие два параграфа посвящены доказательству так называемых теорем единственности, согласно которым как статические, так и нестатические стационарные черные дыры устроены относительно просто. А именно, будут рассмотрены стационарные решения уравнений Эйнштейна-Максвелла и показано, что все такие решения, описывающие стационарную черную дыру, сводятся к метрике Керра-Ньюмена (6.4.33); при этом, если вращение отсутствует, соответствующее решение сводится к решению Рейсснера-Нордстрема. Обсуждение роли остальных физических полей и их «волос” мы отложим до последнего параграфа этой главы.