3. Траектория распространения исходной прямолинейной трещины в бесконечной пластине

Получим траектории распространения исходной прямолинейной трещины в бесконечной пластине при действии растягивающих нагрузок.

Одноосное растяжение на бесконечности. Рассмотрим задачу об определении статической траектории распространения трещины в неограниченной плоскости, находящейся на бесконечности под действием одноосного растяжения напряжениями направленными под углом 7 к оси Исходная трещина представляет собой прямолинейный разрез вдоль отрезка оси При этом в качестве условия (2.3) примем часто используемую гипотезу [65, 119] о том, что направление начального распространения трещины совпадает с плоскостью, в которой главная часть растягивающих напряжений (см. рис. 4) достигает максимального значения, т. е.

Задача теории упругости для бесконечной плоскости с гладким криволинейным разрезом на берегах которого заданы самоуравновешенные усилия

сводится к решению сингулярного интегрального уравнения (1.132) при условии обеспечивающем однозначность смещений при обходе контура

Учитывая, что искомая траектория должна быть антисимметричной, распространим функцию (2.18) на отрицательные значения х нечетным образом, т. е. принимаем уравнение всего разреза в виде (2.20). После замены переменных

преобразуем интегральное уравнение на контуре и условие (1.133) к виду

где

Численное решение уравнения (2.24) при условии (2.25) получим с помощью квадратурных формул Гаусса-Чебышева (1.123), (1.124), применение которых приводит к системе линейных алгебраических уравнений

относительно неизвестных величин

На основании решения комплексной системы алгебраических уравнений (2.28) вычисляем коэффициенты интенсивности напряжений для правой вершины трещины по формуле (см. (1.141))

На рис. 14 для различных значений угла у изображены вычисленные указанным выше путем участки траекторий распространения трещины (сплошные линии), находящиеся в первом квадранте. Штриховые прямые, проходящие через центр трещины,

перпендикулярны к направлению растяжения. Как видно, трещина сначала приближается к этим прямым, а затем распространяется параллельно им. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений (сплошные линии) от абсциссы вершины трещины, распространяющейся вдоль вычисленных выше траекторий, показаны на рис. 15. С увеличением длины трещины коэффициенты интенсивности монотонно увеличиваются, а (штриховые линии) стремятся к нулю. Здесь коэффициенты интенсивности напряжений вычислены при решении задачи на этапе, когда трещина оканчивается в точках с абсциссой рис. 13), которые не принадлежат траектории. Поэтому приведенные значения коэффициентов интенсивности напряжений являются приближенными; уменьшение шага увеличивает их точность. Отметим, что по известной траектории в ее точках сравнительно легко получить значения коэффициентов интенсивности напряжений (как для криволинейной трещины заданной формы). Приведенные результаты хорошо согласуются с данными работы [160], где рассматриваемая задача при решена методом конечных элементов. В работах [26, 160] имеются также экспериментальные данные о траектории распространения трещины в растягиваемых прямоугольных пластинах. Наблюдается удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных данных, особенно в начальный период распространения трещины, когда отсутствует влияние края пластины.

Рис. 14.

Двухосное растяжение на бесконечности. Изложенные выше результаты могут быть использованы также при изучении устойчивости распространения трещины вдоль некоторых траекторий. В частности, в экспериментальных исследованиях часто важнейшим требованием является устойчивость формы прямолинейной трещины, т. е. малые отклонения в расположении трещины и точек приложения сил, неизбежные в экспериментальной практике, должны вызывать малые затухающие возмущения в развитии трещины.

Исследуем устойчивость развития прямолинейной трещины, первоначально расположенной на отрезке оси в неограниченной пластине, находящейся на бесконечности под действием двухосного растяжения напряжениями (перпендикулярно к трещине) и (параллельно трещине). Поскольку нагрузка симметрична относительно линии трещины согласно условию (2.21) траекторией ее распространения является прямая (ось Однако эта траектория не всегда устойчива. Если принять, что на первом этапе

угол является малым, но отличным от нуля, то при дальнейшем развитии трещина в зависимости от отношения главных напряжений может значительно отклониться от линии своего первоначального положения.

На рис. 16 для различных отношений приведены траектории распространения трещины.

Рис. 15.

Как и выше, предполагается, что траектория антисимметрична, т. е. ее уравнение принимается в виде (2.20). При этом также рассматривается сингулярное интегральное уравнение (2.24) с правой частью

Начальное возмущение принималось равным

Анализ приведенных результатов показывает, что при траектория развития трещины мало отличается от прямолинейной. С увеличением отношения трещина все больше отклоняется от линии первоначального положения и при ее траектория асимптотически приближается к некоторым прямым, перпендикулярным к оси При этом имеется определенный диапазон изменения начального возмущения, в котором оно слабо влияет на форму траектории.

Аналогичные выводы сделаны в работе [158] на основании экспериментального исследования траекторий разрушения при двухосном растяжении пластины.

Отметим, что при численном решении интегрального уравнения (2.24) число алгебраических уравнений в системе (2.28) можно уменьшить в 2 раза, если воспользоваться условием симметрии относительно центра траектории При этом интеграл в левой части условия (2.25) превращается в нуль тождественно, как определенный интеграл по симметричному отрезку от нечетной функции

Рис. 16.

Действие растягивающих сосредоточенных сил. Выше рассмотрены примеры, когда статическая траектория распространения трещины симметрична относительно своего центра. Ниже исследуется распространение трещины в неограниченной плоскости, растягиваемой несимметрично приложенными сосредоточенными силами перпендикулярно к исходной прямолинейной трещине. Для траектории предполагается наличие оси симметрии.

Рис. 17.

Рассмотрим бесконечную плоскость с гладким криволинейным разрезом ось симметрии которого совпадает с осью прямоугольной декартовой системы координат Предположим, что берега трещины свободны от нагрузки, а в точках плоскости приложены сосредоточенные силы растягивающие пластину (рис. 17).

Первая основная задача теории упругости для такой области с разрезом приводится к сингулярному интегральному уравнению (2.24) и условию (2.25), причем правая часть интегрального уравнения (2.24) дается формулой [70]

где комплексные потенциалы

определяют напряженное состояние сплошной плоскости без разреза.

Как и выше, численное решение уравнения (2.24) при условии (2.25) найдем с помощью метода механических квадратур. Учитывая соотношение которое следует из условия симметрии задачи относительно оси Оу (1.103), систему комплексных алгебраических уравнений (2.28) при четном можно преобразовать к виду

где

Коэффициенты интенсивности напряжений при этом вычислим по формуле

Определим статическую траекторию распространения исходной прямолинейной трещины, расположенной на отрезке оси в предположении, что при нагрузке, достигшей предельного значения, трещина начинает расти в направлении, которое образует с касательной в ее вершине угол При этом в замене переменных (2.23) под функцией будем подразумевать выражение (2.19), соответствующее траектории при наличии оси симметрии. Тогда сингулярное интегральное уравнение (2.24) и условие однозначности смещений (2.25) эквивалентны системе действительных алгебраических уравнений (2.33), решение которой находилось на ЭВМ при Упругая постоянная х, входящая в правую часть (2.31), принималась равной 2.

На рис. 17, 18 при фиксированных значениях (рис. 17) и (рис. 18) приведены расчетные траектории (правые участки) для различных расстояний На рис. 19 изображены траектории распространения исходной

прямолинейной трещины в бесконечной плоскости, находящейся под действием одной сосредоточенной в точке силы В этом случае комплексные потенциалы определяющие напряженное состояние в сплошной плоскости без разреза, имеют вид

Вид траектории распространения трещины существенно зависит от расстояний точек приложения сил до центра трещины; при несимметричном нагружении пластины исходная прямолинейная трещина, развиваясь, становится криволинейной.

Рис. 18.

Рис. 19.

При малых относительных расстояниях между точками приложения сил трещина вначале незначительно загибается в сторону более удаленной силы, а затем выравнивается и распространяется практически перпендикулярно к силам (эта прямая, однако же, не является осью силовой симметрии). Если хотя бы одна из точек приложения сил несколько больше удалена от трещины то вначале рост трещины во всех случаях происходит в сторону ближе расположенной силы, а затем траектория поворачивает в противоположную сторону.

В случае действия одной силы (см. рис. 19) распространение трещины происходит в сторону приложенной силы; при удалении точки приложения силы от трещины ее траектория становится все более пологой, приближаясь к прямой линии ее первоначального расположения.

В заключение отметим, что форма траектории трещины на рис. 18 при качественно согласуется с экспериментальными данными [126], полученными на дисковом образце. При построении траекторий трещины вычислялись также коэффициенты интенсивности напряжений у вершины трещины, распространяющейся вдоль них. Как и следовало ожидать, с увеличением

длины трещины коэффициент интенсивности монотонно уменьшается, а стремится к нулю.

Расчеты показали, что при продвижении трещины вдоль криволинейной траектории контакт ее берегов отсутствует, т. е. скачок нормальных смещений берегов трещины положительный. Это легко проверяется по решению интегрального уравнения. Действительно, искомая функция в локальной системе координат нормаль, касательная) может быть представлена в виде

где угол, образуемый положительной касательной к контуру трещины в точке с осью дуговая абсцисса Поэтому если производная от скачка нормальных перемещений на контуре траектории, т. е. выражение меняет знак на противоположный лишь один раз, то это означает что трещина полностью раскрыта.