Глава седьмая. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН С ТРЕЩИНАМИ

К настоящему времени решены уже многие плоские задачи о напряженно-деформированном состоянии тел с отверстиями и трещинами, однако в основном они касаются случаев неограниченных областей (плоскость, полуплоскость, полоса). Изучение таких задач было начато Бови [135] и развито затем другими исследователями [11, 29, 30, 45, 65, 70, 95]. Данная глава посвящена решению задач об упругом равновесии конечной многосвязной области с трещинами и отверстиями, среди которых имеется хотя бы одно круговое. При этом, как и в предыдущей главе, понижен порядок исходной системы сингулярных интегральных уравнений при использовании общего аналитического решения первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием. Указанный подход позволяет более эффективно решать задачи для многосвязных областей различных внешних очертаний, ослабленных трещинами и круговым отверстием. При этом сравнительно легко могут быть рассмотрены случаи действия сосредоточенных или разрывных нагрузок на круговом граничном контуре, а также трещины, выходящие на край указанного отверстия.

Метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным также при решении задач теории трещин для кусочно-однородных тел [18, 19, 32, 77, 110, 121, 152, 173]. Предлагаемая модификация интегральных уравнений при наличии кругового отверстия применяется в данной главе при исследовании составных кольцевых областей с трещинами. В качестве примера решена первая основная задача теории упругости для кусочно-однородного кругового кольца с краевыми трещинами; решение получено в приближенной и строгой постановках.

1. Понижение порядка системы уравнений при наличии кругового отверстия

Пусть область занимаемая пластиной, ограничена замкнутыми контурами среди которых по крайней мере один (обозначим его через является окружностью радиуса Область ослаблена системой криволинейных разрезов (разомкнутые контуры Отнесем каждый из контуров

к локальной системе координат начало которой определяется в основной системе комплексной координатой а оси Опхп и образуют угол Выберем основную систему совпадающей с локальными системами и поместим их общее начало в центр окружности Будем также считать, что контуры представляют собой дуги Ляпунова. Тогда связь между координатами точек области в локальной и основной системах будет дана соотношениями

Пусть на граничных контурах заданы усилия

удовлетворяющие условиям равновесия (1.78).

Рис. 71.

Воспользуемся интегральными представлениями комплексных потенциалов напряжений для бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием и системой криволинейных разрезов [95]:

Здесь потенциалы определяют решение задачи неограниченной пластины, ослабленной круговым отверстием радиуса [48]:

потенциалы описывают напряженно-деформированное состояние упругой плоскости, вызванное разрывами смещений и напряжений на контурах

Слагаемые

прибавлены с тем, чтобы потенциалы были справедливы как для внутренних, так и для краевых трещин. В последнем случае эти слагаемые играют ту же роль, что и дополнительные условия вида (6.26), (6.27). Для внутренних разрезов слагаемые (7.6) обращаются в нуль вследствие выполнения условий однозначности смещений (1.83) или в другой форме:

Будем считать, что замкнутый контур, охватывающий все остальные контуры Отметим, что выбор потенциалов в форме (7.3) обеспечивает тождественное удовлетворение граничного условия на контуре вследствие чего искомая функция на нем исключается из рассмотрения. Такой подход позволяет более эффективно находить численное решение системы уравнений, а также сравнительно легко рассмотреть действие сосредоточенных

сил на круговой границе и случай краевых трещин, выходящих на граничную окружность.

Удовлетворяя с помощью потенциалов (7.3) граничные условия (7.1), (7.2) на каждом из контуров получаем систему сингулярных интегральных уравнений в компактной форме [80, 106]:

где прямые значения потенциалов (7.3). Запишем эту систему в развернутом виде:

Здесь

(см. скан)

ядра даются соотношениями (1.81), величины определяются формулами (1.80).

К уравнениям (7.9) прибавлены функционалы

(равные нулю при выполнении условий равновесия), обеспечивающие разрешимость системы (7.9) при любой правой части, причем в случае внутренних разрезов решение системы должно удовлетворять условиям (1.83), гарантирующим однозначность смещений при обходе контуров Величина пропорциональна кручению в произвольной точке

Коэффициенты интенсивности напряжений у вершин трещин находим после решения системы (7.9) по формулам, аналогичным (1.75).

Рис. 72.