2. Прямоугольная пластина с произвольно ориентированной центральной трещиной

Подходом, изложенным в предыдущем параграфе, вычислим коэффициенты интенсивности напряжений в прямоугольной пластине с произвольно ориентированной центральной трещиной при заданной на ее берегах статической нагрузке.

Пусть в прямоугольной пластине со сторонами и и внешней границей имеется центральный прямолинейный разрез образующий с осью абсцисс локальной декартовой системы координат угол а (локальная система координат совпадает с базисной Предположим, что берега трещины загружены самоуравновешенной нагрузкой а граница пластины свободна от напряжений (рис. 36).

Рис. 36.

Граничные условия на контурах имеют вид

где нормальная и касательная компоненты напряжений; индексы и — отвечают предельному значению функции при стремлении к разрезу слева (справа); 21 — длина трещины.

Как известно [93, 95], данная задача теории упругости сводится к решению системы двух комплексных сингулярных интегральных уравнений (1.80) при Пользуясь результатом (4.17), получим одно сингулярное интегральное уравнение по замкнутому контуру

Здесь

а (см. рис. 36); величины даются формулами (3.86) и (3.87). Правую часть уравнения (4.20) (см. последнюю из формул определим соотношением

При этом функция находится из равенства (3.88). Слагаемое будет определено ниже.

В сингулярном интегральном уравнении (4.20) замена переменных возможна при наличии гладкого контура. Этого можно достичь скруглением углов пластины (см. рис. 36; r - радиус вписанной в прямой угол окружности).

Пусть параметрическое уравнение части скругленного контура, находящейся в первом квадранте системы имеет вид

Уравнение всей границы пластины со скругленными углами определяется из условий симметрии.

Заменой сведем уравнение (4.20) к виду

где приняты стандартные обозначения

Получим численное решение уравнения (4.24), когда к берегам трещины приложено нормальное равномерно распределенное давление Тогда слагаемые в правой части равенства (4.22) на основании соотношения (3.88) и граничного условия (4.18) принимают вид

Исключенную на трещине неизвестную функцию определим по формуле (3.72) при

где функции находятся из соотношений (3.73) и (3.78). В частности, с учетом нагружения пластины в данном случае из равенства (3.73) следует

Применяя к сингулярному интегральному уравнению (4.24) и равенству (4.27) квадратурные формулы (1.116) и (1.117), получаем следующее выражение для определения коэффициентов интенсивности напряжений у вершин трещины:

Здесь значения в узлах коллокации неизвестной функции полученные в результате численного решения уравнения (4.24).

В табл. 9 приведены численные данные для безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений (над чертой) и (под чертой) при некоторых значениях параметров

Таблица 9. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для прямоугольной пластины с центральной трещиной под давлением

При радиусах скруглеиия углов пластины а численные решения практически совпадают (см. табл. 10 для квадрата при угле ориентации трещины (худший случай); соответствует радиусу скругления радиусу скругления

Таблица 10. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для квадратной пластины с диагональной трещиной

Таблица 11. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для кругового диска с центральной трещиной под давлением

Отметим, что при значениях приходим к задаче о центральной трещине в круглом диске радиуса а. Путем исключения неизвестной функции на границе диска эта задача сведена [70, 95] к одному сингулярному интегральному уравнению, которое затем решалось численно прямым методом и методом возмущений [55]. В последнем случае определены коэффициенты интенсивности напряжений в виде ряда по степеням безразмерного параметра

Сравнение численных результатов, полученных с помощью указанных подходов, проиллюстрировано в табл. 11. В первой колонке таблицы — результаты, заимствованные из работы [95]; в средней — результаты, полученные на основе численного решения уравнения (4.24) при количестве узлов в третьей —

данные, рассчитанные по формуле (4.30). В указанном диапазоне изменения параметра X наблюдается практически полное совпадение результатов.

Рассмотрим прямоугольную пластину со сторонами которая в точках растягивается перпендикулярно к трещине сосредоточенными силами Трещина расположена на отрезке (см. рис. 37). Считаем, что внешняя граница и берега трещины свободны от нагрузки. Граничные условия задачи имеют вид (4.18) и (4.19), в которых следует положить

Рис. 37.

Как и в предыдущем случае нагружения пластины с произвольно ориентированной трещиной, задача сводится к сингулярному интегральному уравнению (4.20) с правой частью (4.22). Первое слагаемое в формуле (4.22) получим из равенства

при (потенциалы определяются соотношениями (3.149)), а второе найдем по формуле

где

Входящую в выражение (4.33) подынтегральную функцию определим из соотношения (4.31) при

Тогда из формулы (4.33) с учетом обозначений для сингулярных интегралов (3.76) и (3.77) получим

(см. скан)

Найдем решение уравнения (4.20) при когда сосредоточенные силы приложены к берегам трещины. Учитывая, что напряженно-деформированное состояние тела не зависит от упругой постоянной к [49], можем положить ее равной нулю. Тогда правая часть уравнения (4.20) упрощается:

Следует отметить, что в случае выступающих углов их округление быстрее приводит к устойчивому результату, особенно когда трещина образует со средней линией прямоугольника угол Поскольку в данном случае то углы можно не скруглять. Тогда уравнение границы прямоугольника примем в форме

Терпящую разрыв производную со доопределим в угловой точке равенством

Пусть параметрическое уравнение границы пластины, которое для совпадает с уравнением (4.40). Заменой переменных сведем уравнение (4.20) к уравнению (4.24) с правой частью

численное решение которого получим, как и в предыдущем случае.

Учет симметрии задачи относительно оси при решении уравнения (4.24) (см. формулу (1.101)) позволяет понизить вдвое порядок соответствующей системы алгебраических уравнений.

В табл. 12 приведены значения безразмерного коэффициента интенсивности напряжений Для различных значений и Под чертой для некоторых значений параметра приведены данные работы [161], полученные методом граничных коллокаций. Наблюдается практически полное совпадение сравниваемых результатов. Анализ численных данных показывает, что при увеличении размера пластины вдоль ее вертикальной оси при фиксированной стороне, параллельной прямолинейному разрезу (увеличивая параметр , см. рис. 37), уже при отношениях имеет место стабилизация функции Следовательно, можно говорить, что полученный при результат соответствует решению задачи для бесконечной полосы шириной с центральной поперечной трещиной, на берегах которой действуют растягивающие нормальные сосредоточенные силы Для этой

же задачи существуют приближенные формулы определения коэффициентов интенсивности напряжений [70, 171], полученные путем асимптотической интерполяции. При этом результат

приведенный в работе [70], и решение

приведенное в работе [171], отличаются при от численных значений коэффициента интенсивности напряжений, полученных для отношения сторон прямоугольника на 0,5 и соответственно.

Таблица 12. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений для прямоугольной пластины с центральной трещиной, полученные методами сингулярных интегральных уравнений и граничных коллокаций

Численные значения функции найденные при отношении сторон прямоугольной пластины для значений хорошо согласуются с известным решением [144] задачи для бесконечной полосы шириной 26 с продольной трещиной, к берегам которой в ее середине приложены нормальные сосредоточенные силы

Отметим, что рассмотренная задача симметрична также и относительно оси следовательно, относительно начала

координат. Расчеты показывают, что использование одного какого-либо из условий симметрии (1.101), (1.103), 1.105) одинаково эффективно при численном решении уравнения (4.24). Однако при симметричном разбиении границы пластины узлами так, чтобы ни одна точка разбиения не попала на ось симметрии (это достигается при одновременный учет условий симметрии относительно обеих осей координат невозможен в данном подходе, так как в этом случае взаимно уничтожаются в ядрах введенные ранее регуляризирующие слагаемые (см. первую главу).

и полученная в результате алгебраическая система уравнений становится вырожденной. Эти слагаемые не уничтожаются при одновременном учете симметрии задачи относительно обеих осей координат, если взять число узлов квадратурной формулы не кратным 4. Тем самым при таком выборе обеспечивается сходимость численного процесса.