2. Обобщенная задача Гриффитса при наличии полос пластичности

Пусть неограниченная плоскость ослаблена прямолинейной трещиной длиной , в обоих концах которой имеются зоны пластичности неизвестной длины на продолжении основного разреза. На бесконечности заданы растягивающие усилия перпендикулярные к линии трещины (рис. 92).

Рис. 92.

Задача состоит в определении длины пластических зон и раскрытия в конце трещины.

Аналитическое решение. Исходя из известных положений -модели, представим зону пластичности разрезом, к берегам которого приложены постоянные сжимающие напряжения, равные пределу текучести материала на растяжение Таким приемом упругопластическая задача о напряженно-деформированном состоянии плоскости с разрезом и пластическими зонами сводится [86] к решению первой основной задачи теории упругости для тела с разрезом и заданной на его берегах разрывной нагрузкой. Сингулярное интегральное уравнение в этом случае имеет вид

где

контур является совокупностью исходной трещины и двух пластических зон на обоих ее концах. Уравнение (8.1) имеет простой вид; найдем в замкнутой форме его решение, ограниченное на концах интервала Воспользовавшись известной формулой (1.56) обращения интегралов типа Коши, имеем [15, 48].

Принимая во внимание значение неопределенного интеграла

получаем

где

С учетом известной связи между функцией и скачком смещений на контуре разреза (см. формулу (1.61)) в симметричном случае имеем

Интегрируя, получаем выражение для раскрытия берегов трещины

В начале зоны пластичности (в вершине трещины) для обобщенного плоского напряженного состояния имеем

Найдем величину характеризующую длину пластической зоны на продолжении трещины. Для этого потребуем, чтобы коэффициент интенсивности напряжений в конце полосы пластичности был равен нулю (физически это означает конечность напряжений в вершине суммарного разреза Записав аналитическое выражение коэффициента интенсивности напряжений (см. формулу (1.95) в работе [70])

где самоуравновешенная нагрузка дается формулой (8.1), и учитывая значение неопределенного интеграла

получаем условие для нахождения длины зоны пластичности

Из последнего равенства с учетом соотношения

определяем искомую величину

Отметим, что выражения (8.6), (8.9) совпадают с приведенными в монографии [65] результатами, полученными несколько иным путем (без привлечения сингулярных интегральных уравнений).

Решение обобщенной задачи Гриффитса можно получить также и численно. Представляет определенный интерес сравнить такое решение с аналитическим с целью апробации численного подхода, что даст возможность впоследствии распространить его на решение других упругопластических задач более сложной геометрии.

Рис. 93.

Численное решение. Аналитическое решение сингулярных интегральных уравнений можнь, получить лишь в простейших случаях. Для большинства задач решение интегральных уравнений приходится искать численно. При этом возникают дополнительные трудности, связанные с наличием в правых частях интегральных уравнений типа (8.1) разрывных функций. Поэтому при численном решении таких уравнений необходимо использовать специальные квадратурные формулы, учитывающие особенности решения в соответствующих узлах. Можно также получить решение другим (упрощенным) способом, неточно учитывающим особенности в узлах, соответствующих точкам разрыва в правых частях уравнений, подобно тому, как это было сделано при решении задач для ломаных и ветвящихся трещин (см. параграф 4 третьей главы).

При решении уравнения (8.1) представим разрез как трехзвенную трещину. Воспользуемся результатами для ломаных трещин, следуя которым определение напряжений в теле, ослабленном трехзвенной трещиной (рис. 93), сводится к решению системы сингулярных интегральных уравнений (3.66), где следует положить При этом считается, что берега ломаных трещин нагружены самоуравновешенными усилиями а напряжения на бесконечности отсутствуют; ядра даются выражениями (1.81).

Решение системы (3.66) должно удовлетворять условию однозначности смещений при обходе сложного контура ломаной трещины

В рассматриваемом нами конкретном случае геометрии и одноосного нагружения (см. рис. 92) напряженное состояние тела

симметрично относительно центра трещины имеет место условие симметрии

Учитывая это равенство, систему трех уравнений приводим к двум уравнениям, которые в нормализованной форме после замены

вместе с условием однозначности смещений (8.10) имеют вид [62,95] 1 1

Здесь

Поскольку в исследуемой задаче отрезки трещин находятся на одной оси то следовательно,

Таким образом, система (8.13) примет вид

где

Будем искать в классе функций, неограниченных на концах интервала, т. е. представим их в виде

полагая

Воспользовавшись методом механических квадратур, приходим к системе линейных алгебраических уравнений

где узлы даются формулами (1.118) и (1.122).

Расчеты показали, что вместо последнего уравнения, выражающего равенство (8.20) и замыкающего систему, можно взять соотношение (8.19), что практически не влияет на полученное численное решение.

Неизвестную длину зоны пластичности определим из условия равенства нулю коэффициента интенсивности напряжений в вершине разреза длины 21:

Корень уравнения (8.22) находится численно (например, методом деления отрезка пополам).

Найдем численно раскрытие в произвольной точке контура Имеем соотношение

Воспользуемся выражением через интерполяционный полином Лагранжа по чебышевским узлам (см. формулу (1.119))

Тогда для функции получаем выражение

Меняя порядок интегрирования и суммирования, а также учитывая значения интегралов

приходим к соотношению

Последнее выражение допускает и несколько иную форму записи:

Отметим, что аналогичное выражение справедливо и для раскрытия в точках контура

С учетом формулы (8.5) приходим к соотношению

Постоянная интегрирования определяется значением смещения в конце соответствующего разреза и равна

Здесь учтено следующее из формул (8.27), (8.29) равенство

Для исследуемой обобщенной задачи Гриффитса

реализуется обобщенное плоское напряженное состояние. Поэтому

и выражение для раскрытия берегов контуров

принимает вид

Для различных значений уровня нагрузки по формуле (8.35) было рассчитано безразмерное раскрытие берегов трещины в ее вершине, а также вычислена относительная длина пластической зоны Табл. 44 иллюстрирует их хорошее соответствие с известными аналитическими оценками (8.7), (8.9). Отметим, что при определении длины полосы пластичности условие (8.22) считалось выполненным, когда коэффициент

для этого потребовалось взять по 20 квадратурных узлов на контурах трещины и пластической зоны. При вычислении раскрытия в вершине трещины ввиду погрешности, вносимой интерполяционным полиномом Лагранжа, число узлов пришлось увеличить вдвое.