2. Дисковый образец с центральной трещиной на осевое растяжение

Среди известных схем нагружения диска со сквозной центральной трещиной, используемого в качестве образца для экспериментального определения трещиностойкости материалов,

часто встречается схема растяжения его двумя сосредоточенными силами, приложенными в симметричных относительно центра диска точках и действующими перпендикулярно к трещине. Для исследования циклической трещиностойкости листовых материалов применяются [89] дисковые образцы с центральной трещиной, когда нагружение образца осуществляется с помощью сухариков [130]. При расчетах такой способ нагружения образца принято моделировать действием растягивающих сил, приложенных к жестким включениям, причем их радиус равен радиусу внешнего выступа сухарика.

Рис. 50.

Коэффициенты интенсивности напряжений в диске с центральной трещиной и двумя круговыми жесткими включениями при растяжении [131]. Рассматривается упругий изотропный диск радиуса в котором имеются центральная трещина длины 21 и два круговых жестких включения радиуса расстояние между центрами), размещенных на диаметре, перпендикулярном к линии трещины, симметрично относительно центра диска (рис. 50). Введем центральную и связанные с контурами контур трещины; границы верхнего и нижнего включений) локальные системы координат, причем системы совпадают.

На свободных от нагрузки внешней границе диска и контуре граничные условия имеют вид

В силу симметрии жесткие включения не поворачиваются, поэтому

компоненты смещений в локальной системе координат Нагрузка, приложенная к жестким включениям, задана проекциями главных векторов на оси центральной системы координат.

Для составления интегральных уравнений задачи используются комплексные потенциалы напряжений, определяющие напряженно-деформированное состояние плоскости, ослабленной отверстиями и разрезами [95]. В рассматриваемом случае плоскости с трещиной и двумя включениями при граничных условиях (5.22), (5.23) комплексные потенциалы с учетом

симметрии задачи относительно точки О, совпадающей с серединой трещины, имеют вид

Здесь неизвестные функции, определяемые на контурах

Напряжения в плоскости на окружности, соответствующей границе

Если к сплошному диску приложить усилия, обратные по знаку усилиям (5.25), то его напряженное состояние определится функциями [95]

(см. скан)

Складывая их с функциями (5.24)

получаем комплексные потенциалы для диска со свободным от напряжений контуром Необходимо отметить, что интегральные представления (5.26) комплексных потенциалов и не содержат контура интегрирования следовательно, граничное условие на нем удовлетворяется тождественно.

Рис. 51.

Выражая через потенциалы (5.26) по известным формулам [49] соответствующие величины, входящие в условия (5.22) и (5.23) при (условие (5.23) будет выполняться тождественно вследствие симметрии задачи), составляем для определения неизвестных функций систему сингулярных интегральных уравнений, которую в компактной форме можно записать так:

где прямые значения потенциалов при

В левой части второго уравнения системы (5.27) имеется равный нулю оператор

который в совокупности с условием однозначности перемещений (5.1) обеспечивает (см. первую главу) единственность решения системы (5.27) при любой правой части.

В результате численного решения системы интегральных уравнений (5.27) методом механических квадратур определяются

коэффициенты интенсивности напряжений рис. 51 изображено изменение коэффициента интенсивности напряжений толщина образца) при 1,78 и различных расстояниях центра включения радиуса (сплошные линии) до трещины в зависимости от относительной длины трещины Штриховые линии относятся к случаю, когда сосредоточенные силы приложены во внутренних точках диска На рис. 51, а кривые I соответствуют значению кривые

Установлено, что точность численных значений зависит не только от количества узлов коллокации на трещине и на границе жесткого включения но и от геометрических параметров она падает с уменьшением и увеличением Для суждения о точности вычисления проводили при различном количестве узлов коллокации и для таких крайних реальных случаев: первый случай — ; второй случай — ; третий случай — Для первого случая при при при ; для второго случая при при - при при ; для третьего случая при при при

Приведенные данные показывают, что, задаваясь точностью вполне достаточно, чтобы в первом случае, во втором, в третьем.

Анализ результатов [131]. Характер изменения коэффициента интенсивности напряжений с увеличением длины трещины в растягиваемом сосредоточенными силами диске существенно зависит от расстояния точек приложения сил [124] (см. рис. 51). Если то вначале возрастает от нуля при до максимума (тем больше, чем больше а), затем падает до минимума и вновь монотонно возрастает. Разность между экстремальными значениями убывает с увеличением а, так что начиная с относительное отклонение максимального или минимального его значения от среднего

не превышает Таким образом, при можно с достаточным основанием говорить о независимости коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины в интервале от до (см. рис. 51,б), называемом рабочим интервалом длин трещин. При коэффициент интенсивности напряжений монотонно возрастает с увеличением длины трещины.

Описанная картина в общих чертах не изменится и при наличии жестких включений, влияние которых тем сильнее, чем ближе расположены они к трещине, и приводит, за исключением участка

малых длин трещины, к понижению коэффициента интенсивности напряжений (см. рис. 51). Такое понижение, максимальное при затухает с ростом трещины тем интенсивней, чем короче расстояние а, так что при достаточно больших К влияние близких к трещине включений слабее, чем дальних.

В экспериментальных исследованиях используются два типа образцов [89]: образец с монотонно увеличивающимся по мере роста трещины коэффициентом интенсивности напряжений (см. рис. 51, а, кривая в котором (тип I), и образец с расстоянием (см. рис. 51, а, кривая для которого относительное отклонение в рабочем интервале длин трещин составляет в среднем (тип II). В последнем случае при необходимости допускается также выбирать значение а в пределах

После обработки методом наименьших квадратов результатов вычислений получены следующие аппроксимационные формулы для определения коэффициентов интенсивности напряжений в образце типа I:

в образце типа II

где к — упругая постоянная. Формулы (5.29) и (5.30) определяют значения при принятой расчетной схеме с точностью до в диапазонах изменения 1,56 2,2 и 0,05 0,1.

Следует отметить, что наличие в рассмотренном здесь дисковом образце (тип II) участка стабилизации коэффициента интенсивности (см. первую формулу (5.30), где в котором функция практически не зависит от относительной длины трещины выгодно отличает указанный образец, так как на рабочем интервале (при влияние на процесс разрушения силового фактора исключено и тем самым появляется возможность более эффективно исследовать трещиностойкость материала при действии других факторов, в частности рабочих сред. Это особенно удобно при циклическом нагружении" когда скорость распространения трещины на участке стабилизации постоянна.