4. Решение интегральных уравнений для внутренних ломаных и ветвящихся трещин

Предположим, что на прямолинейный разрез выходят прямолинейных трещин отнесеннных к локальным системам координат причем их левые вершины расположены на контуре основной трещины Будем считать, что все трещины размещены вдоль отрезков осей Опхп и что системы координат совпадают между собой. В базисной системе координат начала локальных систем находятся в точках а оси Опхп образуют с осью углы (рис. 28).

В работах [62, 95] для ломаных и ветвящихся трещин, когда боковые звенья выходят из вершин основного разреза предложена упрощенная схема численного решения интегральных уравнений (3.66) с использованием квадратурных формул

Гаусса-Чебышева. При этом особенность решения в угловой точке или точке ветвления учитывается не точно и, следовательно, такое решение эффективно в случае, когда не требуется определять напряженно-деформированное состояние в окрестности этих узлов. В частности, в указанных работах предложенная схема решения применяется для определения коэффициентов интенсивности напряжений у вершин ломаных и ветвящихся трещин в плоскости, подвергнутой на бесконечности растяжению внешними напряжениями действующими во взаимно-перпендикулярных направлениях, причем напряжения направлены под углом у к оси Берега разрезов, образующих кусочно-гладкую трещину, свободны от нагрузки. Суперпозицией данная задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений (3.66) с правой частью

Рис. 28.

Условие однозначности смещений при обходе образованного сложного контура имеет вид [93]

Запишем систему (3.66) и условие (3.91) в нормализованной форме:

где

Численное решение системы (3.92) в классе функций

будем искать методом механических квадратур, считая, что [95]

На рис. 29 — 32 при приведены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений для ломаных (кривые 1 - 3) и ветвящихся (кривые 5) трещин от угла ориентации боковых разрезов а для случаев одноосного рис. 29, 30) и всестороннего рис. 31, 32) растяжения. Сплошные линии относятся к правой вершине трещины (вершине ), а штриховые — к левой (кривые 1, 4).

Решение указанных задач можно получить также с помощью сингулярных интегральных уравнений, найденных предельным переходом из системы (3.80), когда внутренние разрезы выходят на контур При этом изменяется связность области, что приводит к необходимости дополнить ядра интегральных уравнений [95].

Для ограниченности решения в точках пересечения трещин с разрезом необходимо, чтобы ядра интегральных уравнений (3.80) при равнялись нулю. Тогда уравнения (3.80) приобретут вид

где

Отсюда следует

Условия (3.98) являются дополнительными для однозначного определения ядер интегральных уравнений в случае пересекающихся трещин.

Должна быть также уточнена формула для нахождения исключенной на основном разрезе функции Ее будем определять соотношением

где

(кликните для просмотра скана)

Покажем, что если имеют место соотношения (3.98), условие однозначности смещений при обходе контура (3.91) выполняется автоматически. Для этого проинтегрируем выражение (3.99) в пределах от до В результате получим

Поскольку (см. равенства (3.78))

и

то формула (3.102) преобразуется к виду

где

Следовательно,

т. е. условие (3.91) выполняется тождественно.

Для примера найдем решение задачи о двухзвенной ломаной трещине в пластине, находящейся на бесконечности под действием одноосного растяжения, и сравним это решение с результатом, полученным для того же случая с использованием интегральных уравнений (3.92) и условия (3.93). Тогда система (3.96) превращается в одно уравнение

которое будем решать численно в классе функций (3.42) при условии (3.95). При этом на основании соотношений (3.90) и (3.100) получим

Величины, определяемые формулами (3.86) — (3.88), для двухзвенной ломаной трещины имеют вид

где - угол между боковой и основной трещинами.

Применение квадратурных формул Гаусса-Чебышева к уравнению (3.106) приводит к системе комплексных алгебраических уравнений, которые вместе с условием (3.95) (при образуют полную алгебраическую систему порядка где количество узлов квадратурной формулы. Применение тех же квадратурных формул к уравнениям (3.92) и (3.93) приводит к алгебраической системе порядка

Отметим, что из формул (3.108), (3.109) непосредственной подстановкой не могут быть получены необходимые для определения ядер уравнения (3.106). Они находятся предельным переходом при и имеют в этом случае вид

Таблица 6. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжений при одностороннем растяжении плоскости с двухзвенной ломаной трещиной

Результаты решения данной задачи (двухзвенная ломаная трещина в плоскости при действии на бесконечности одноосного перпендикулярно к основной трещине растяжения) двумя подходами сведены в табл. 6. Эта таблица содержит значения безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений (над чертой) и (под чертой) у вершин рассматриваемой трещины, найденные в результате численного решения системы двух сингулярных интегральных уравнений (3.40) (при и сингулярного интегрального уравнения (3.106) при равном 10; 20; 30 и при различных углах наклона боковой трещины а. Отношения длин разрезов составляющих ломаную трещину, равно 0,5.

Анализ численных результатов позволяет заключить, что в случае задачи о ломаной двухзвенной трещине скорость сходимости численных решений сингулярного интегрального уравнения и системы двух сингулярных интегральных уравнений (3.92) к точному почти одинакова. Практически точное решение данной задачи (три верных знака после запятой) для углов наклона получается уже при Поэтому нахождение численного решения с помощью уравнения (3.106) является более предпочтительным.

Таблица 7. (см. скан) Коэффициенты интенсивности напряжения при одноосном и всестороннем растяжении плоскости с трехзвенной трещиной ветвления

Получим численное решение задачи, когда из середины верхнего берега основной трещины выходит под углом а боковой разрез длины Обозначим левый конец трещины через А, правый — через В, а правую вершину разреза через С. Пусть на бесконечности пластина находится под действием

одноосного или всестороннего растяжения. В этом случае также приходим к сингулярному интегральному уравнению (3.106), для определения ядер которого имеем соотношения

В табл. 7 приведены безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений в окрестности трех вершин для различных значений угла ориентации а и параметра при одноосном (над чертой) и всестороннем (под чертой) растяжении. При для случая всестороннего растяжения полученный результат хорошо согласуется с данными работ [62, 95, 172] для -образной трещины.

Приведенные в табл. 7 значения численных расчетов найдены при решении соответствующих систем алгебраических уравнений порядков При этом получали три верных знака после запятой. Четвертый знак может отличаться от истинного на ±1.

Анализ численных решений задачи позволяет заключить, что при одноосном растяжении плоскости с трещиной функция соответствующая вершине С, монотонно убывает с ростом угла для всех рассмотренных отношений При она принимает отрицательные значения на всем диапазоне изменения угла а, а при в точке Это значит, что для указанных значений параметров разрез находится в поле сжимающих напряжений и его берега контактируют.

При двухосном растяжении плоскости функция соответствующая вершине трещины С, монотонно возрастает при отношениях и монотонно убывает при для всех углов

Ломаная и ветвящаяся трещины с бесконечно малыми отростками. В механике разрушения, в частности при построении энергетических критериев разрушения, принципиальное значение имеют решения задач о ломаной и ветвящейся трещинах в предельном случае, когда отношение длины боковой трещины к длине основной бесконечно мало. При этом коэффициенты интенсивности напряжений у вершины отростка могут быть представлены в виде

где и — коэффициенты интенсивности для основной трещины при отсутствии отростков.

Сходимость численного решения интегральных уравнений к точному ухудшается при уменьшении отношения длин боковой и основной трещин. Поэтому в предельном случае при численное

решение прямо не может быть получено. Для двухзвенной ломаной трещины, когда боковой разрез выходит с правого конца основной трещины, и для трещины ветвления, состоящей из трех веток (два боковые разреза выходят симметрично относительно линии основной трещины с правого ее конца), величины вычислялись экстраполяцией на основе численных данных, найденных [62] при равных 0,01 и 0,02.

Поскольку для одноосного растяжения пластины на бесконечности перпендикулярно к основной трещине без отростков имеем то из формулы (3.115) находим

Отсюда

Так как, например, при

из соотношения (3.115) получаем

Следовательно, для определения имеем формулы (3.116) и (3.117).

Полагая теперь, что функция изменяется на отрезке по линейному закону

получаем окончательный результат

На рис. 33 для двухзвенной ломаной трещины (сплошные линии) и трехзвенной трещины ветвления (штриховые линии) приведены величины вычисленные экстраполяцией. В работе [134] приведены аналогичные зависимости функций В случае ломаной трещины наблюдается достаточно хорошее согласие полученных результатов с данными работы [134] (максимальное относительное отклонение не превышает несколько большее различие имеет место для трещины ветвления. Для последнего случая в работах [33, 34] найдены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений

Рис. 33.

от угла а при Отметим, что для такого же значения 8 рассчитанные на основе решения сингулярных интегральных уравнений (3.92) или (3.96) коэффициенты интенсивности практичести совпадают с данными этих работ.